人教高中数学专题12 圆锥曲线中的“设而不求”（解析版）.docx

专题12 圆锥曲线中的“设而不求”
一、考情分析
研究曲线方程及由方程研究曲线的有关性质问题,是圆锥曲线中的一个重要内容,其特点是代数的运算较为繁杂,许多学生会想而不善于运算,往往是列出式子后“望式兴叹”.在解决圆锥曲线问题时若能恰当使用“设而不求”的策略,可避免盲目推演造成的无效运算,从而达到准确、快速的解题效果.
二、解题秘籍
(一) “设而不求”的实质及注意事项
1.设而不求是解析几何解题的基本手段,是比较特殊的一种思想方法,其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用．设而不求的灵魂是通过科学的手段使运算量最大限度地减少,通过设出相应的参数,利用题设条件加以巧妙转化,以参数为过渡,设而不求．
2.在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时,需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的,都尽可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消参,而设参的原则是宜少不宜多．
3. “设而不求”最常见的类型一是涉及动点问题，设出动点坐标，在运算过程中动点坐标通过四则运算消去，或利用根与系数的关系转化为关于其他参数的问题；二是涉及动直线问题，把斜率或截距作为参数，设出直线的方程，再通过运算消去.
【例1】（2023届山西省临汾市等联考高三上学期期中）已知椭圆的长轴长为，，为的左、右焦点，点在上运动，且的最小值为.连接，并延长分别交椭圆于，两点.
(1)求的方程；
(2)证明：为定值.
【解析】（1）由题意得，
设，的长分别为，，
则，当且仅当时取等号，
从而，得，，
则椭圆的标准方程为；
（2）由（1）得，，
设，，
设直线的方程为，直线的方程为，
由，得，
则，
，
同理可得，
所以.
所以为定值.
【例2】（2023届江苏省连云港市高三上学期10月联考）已知椭圆中有两顶点为，，一个焦点为.
(1)若直线过点且与椭圆交于，两点，当时，求直线的方程；
(2)若直线过点且与椭圆交于，两点，并与轴交于点，直线与直线交于点，当点异，两点时，试问是否是定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由.
【解析】（1）∵椭圆的焦点在轴上，设椭圆的标准方程为，
由已知得，，所以，
椭圆的方程为，
当直线与轴垂直时与题意不符，
设直线的方程为，，，
将直线的方程代入椭圆的方程化简得，
则，，
∴，解得.
∴直线的方程为；
（2）当轴时，，不符合题意，
当与轴不垂直时，设：，则，
设，，联立方程组得，
∴，，
又直线：，直线：，
由可得，即，
，
，
，
，
，即，得，
∴点坐标为，
∴，
所以为定值.
(二)设点的坐标
在涉及直线与圆锥曲线位置关系时,如何避免求交点,简化运算,是处理这类问题的关键,求解时常常设出点的坐标,设坐标方法即通过设一些辅助点的坐标,然后以坐标为参数,利用点的特性(条件)建立关系(方程).显然,这里的坐标只是为寻找关系而作为“搭桥”用的,在具体解题中是通过“设而不求”与“整体消元”解题策略进行的.
【例3】（2023届湖南省郴州市高三上学期质量监测）已知椭圆的离心率为，过坐标原点的直线交椭圆于两点，其中在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连接.当为椭圆的右焦点时，的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若为的延长线与椭圆的交点，试问：是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由.
【解析】（1）椭圆离心率，，则，
当为椭圆右焦点时，；
，解得：，，
椭圆的方程为：.
（2）由题意可设直线，，，
则，，，直线；
由得：，
，则，
，；
，又，
，则，
为定值.
【例4】（2023届江苏省南通市如皋市高三上学期期中）作斜率为的直线l与椭圆交于两点，且在直线l的左上方.
(1)当直线l与椭圆C有两个公共点时，证明直线l与椭圆C截得的线段AB的中点在一条直线上；
(2)证明：的内切圆的圆心在一条定直线上.
【解析】（1）设，，中点坐标为，
所以有，联立，得，得，得
，由韦达定理可知，，所以，所以，化简得：，所以线段AB的中点在直线上.
（2）由题可知，的斜率分别为，，所以，因为得
由（1）可知，，所以，又因为在直线l的左上方，所以的角平分线与轴平行，所以的内切圆的圆心在这条直线上.
(三)设参数
在求解与动直线有关的定点、定值或最值与范围问题时常设直线方程,因为动直线方程不确定,需要引入参数,这时常引入斜率、截距作为参数.
【例5】（2022届湖南省益阳市高三上学期月考）已知椭圆的左右焦点分别为,,其离心率为,P为椭圆C上一动点,面积的最大值为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过右焦点的直线