人教专题2.9 幂函数与二次函数-重难点题型精讲（举一反三）（新高考地区专用）（解析版）.docx

专题2.9 幂函数与二次函数-重难点题型精讲
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝
y＝x－1
图象
性质
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在R上单调递增
在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增
在R上单调递增
在[0，＋∞)上单调递增
在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减
公共点
(1,1)
2.二次函数的图象和性质
解析式
f (x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f (x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域
R
R
值域
4ac−b24a，+∞
−∞，4ac−b24a
单调性
在x∈−∞，−b2a上单调递减；在x∈−b2a，+∞上单调递增
在x∈−∞，−b2a上单调递增；在x∈−b2a，+∞上单调递减
对称性
函数的图象关于直线x＝－对称
【题型1 求幂函数的解析式】
(1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：①指数为常数；②底数为自变量；③系数为1.
(2)对于幂函数过已知的某一点，求幂函数解析式问题：先设出幂函数的解析式y＝xα(α为常数)，再将已知点代入解析式，求出α，即可得出解析式.
【例1】（2021秋•临渭区期末）已知幂函数y＝f（x）的图像过点（2，8），则f（﹣2）的值为（　　）
A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4
【解题思路】设所求的幂函数为f（x）＝xa，由幂函数y＝f（x）的图象经过点（2，8），解得f（x）＝x3，由此能求出f（﹣2）的值．
【解答过程】解：设所求的幂函数为f（x）＝xa，
∵幂函数y＝f（x）的图象经过点（2，8），
∴f（2）＝2a＝8，解得a＝3，
∴f（x）＝x3，
∴f（﹣2）＝（﹣2）3＝﹣8，
故选：B．
【变式1-1】（2021秋•阳春市校级月考）已知幂函数y＝f（x）的图象过点(3，3)，则f（4）的值为（　　）
A．﹣2 B．1 C．2 D．4
【解题思路】设幂函数的解析式为f（x）＝xα，代入点可求α的值，从而可求f（4）的值．
【解答过程】解：设幂函数的解析式为f（x）＝xα，
因为幂函数y＝f（x）的图象过点(3，3)，所以3α=3，解得α=12．
所以f（x）=x，f（4）=4=2．
故选：C．
【变式1-2】（2022春•无锡期末）已知幂函数y＝f（x）的图像过点(2，22)，则f（16）＝（　　）
A．−14 B．14 C．﹣4 D．4
【解题思路】设出函数的解析式，代入点的坐标，求出函数f（x）的解析式，求出函数值即可．
【解答过程】解：令f（x）＝xα，
将点(2，22)代入函数的解析式得：
2α=22=2−12，解得α=−12，
故f（x）=x−12，f（16）=14，
故选：B．
【变式1-3】（2022春•广陵区校级月考）若幂函数f（x）＝xa的图象经过点(2，316)，则函数f（x）的解析式是（　　）
A．f(x)=x43 B．f(x)=x13 C．f(x)=x−43 D．f(x)=x23
【解题思路】由题意，利用幂函数的定义和性质，用待定系数法求出它的解析式．
【解答过程】解：∵幂函数f（x）＝xa的图象经过点(2，316)，
∴2a=316=234，解得a=43，∴f(x)=x43，
故选：A．
【题型2 幂函数的图象和性质】
(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．
(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函
数中指数越大，函数图象越远离x轴．
(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个
幂函数的图象和性质是解题的关键．
【例2】（2022春•德州期末）幂函数f(x)=(m2+m−5)xm2+2m−5在区间（0，+∞）上单调递增，则f（3）＝（　　）
A．27 B．9 C．19 D．127
【解题思路】根据幂函数的概念及性质，求出实数m的值，得到幂函数的解析式，由此能求出结果．
【解答过程】解：∵幂函数f(x)=(