人教专题7.3 等比数列及其前n项和 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）解析版.docx

专题7.3 等比数列及其前n项和
新课程考试要求
1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式；
2.了解等比数列与指数函数的关系.
3.掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式及其应用；
4.会用数列的等比关系解决实际问题.
核心素养
本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理、数学运算、数学抽象、数学建模等.
考向预测
1．利用方程思想应用等比数列通项公式、前n项和公式求基本量；
2．等比数列的性质及应用.
3．更倾向于与等差数列或其他内容相结合的问题，其中涉及到方程的思想、等价转化的思想、分类讨论的思想等．从思维品质上看更讲究思维的灵活性及深刻性．
4.复****中注意:
（1）与等差数列及其它知识的综合问题；
（2）根据已知递推式构造等比数列求解相关问题.
【知识清单】
知识点一．等比数列的有关概念
1. 等比数列定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：,（注意：“从第二项起”、“常数”、等比数列的公比和项都不为零）
2．等比数列通项公式为：.
说明：（1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列；（2）等比数列的通项公式知：若为等比数列，则.
3．等比中项
如果在中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项）
4. 等差数列与等比数列的区分与联系
(1)如果数列成等差数列，那么数列(总有意义)必成等比数列．
(2)如果数列成等比数列，且，那么数列 (，且)必成等差数列．
(3)如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列．数列是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件．
(4)如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般”的方法进行讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，构成什么样的新数列．
知识点二．等比数列的前n项和
一般地，设等比数列的前n项和是，当时，或；当时，（错位相减法）.
说明：（1）和各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆；（3）应用求和公式时，必要时应讨论的情况.（4）若已知首项和末项，则；若等比数列{an}的首项是，公比是，则其前项和公式为.
知识点三．等比数列的相关性质
1.等比数列的性质：
（1）在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等比中项；
（2）在等比数列中，相隔等距离的项组成的数列是等比数列， 如：，，，，……；，，，，……；
（3）在等比数列中，对任意，，；
（4）在等比数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等比中项. 也就是：，如图所示：.
（5）若数列是等比数列，且公比不为－1，是其前项的和，，那么，，成等比数列.
如下图所示：
.
（6）两个等比数列与的积、商、倒数的数列、、仍为等比数列．
（7）若数列是等比数列,则，仍为等比数列．
2. 公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即，，，…成等比数列，且公比为.
3.等比数列的单调性
当或时，为递增数列，当或时，为递减数列．
4. 等差数列和等比数列比较
等差数列
等比数列
定义
＝常数
＝常数
通项公式
判定方法
(1)定义法；
(2)中项公式法：⇔为等差数列；
(3)通项公式法：(为常数,)⇔ 为等差数列；
(4)前n项和公式法：(为常数, )⇔ 为等差数列；
(5) 为等比数列，且，那么数列 (，且)为等差数列
(1)定义法
(2)中项公式法： ()⇔ 为等比数列
(3)通项公式法： (均是不为0的常数，)⇔为等比数列
(4) 为等差数列⇔(总有意义)为等比数列
性质
(1)若，，，，且，则
(2)
(3) ，…仍成等差数列
(1)若，，，，且，则
(2)
(3)等比数列依次每项和()，即 ，…仍成等比数列
前n项和
时，；当时，或.
【考点分类剖析】
考点一 ：等比数列的基本运算
【典例1】（2020·全国高考真题（文））设是等比数列，且，，则（ ）
A．12 B．24 C．30 D．32
【答案】D
【解析】
设等比数列的公比为，则，
，
因此，.
故选：D.
【典例2】（2019·全国高考真题（理））记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________．
【答案】.
【解析】
设等比数列的公比为，由已知，所以又，