人教专题7.4 数列求和 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）解析版.docx

专题7.4 数列求和
新课程考试要求
1.掌握等差数列、等比数列前 n 项和公式及其应用..
核心素养
本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理、数学运算、数学抽象、数学建模等.
考向预测
1.等差数列与等比数列综合确定基本量，利用“裂项相消法”“错位相减法”等求和.
2.简单的等差数列、等比数列求和..
3.往往以数列求和问题为先导，在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后再与不等式、函数、最值等问题综合，近几年难度有所降低，.考查公式法求和、 “裂项相消法”、“错位相减法”较多.
4.复****中注意:
（1）灵活选用数列求和公式的形式，关注应用公式的条件；
（2）熟悉分组求和法、裂项相消法及错位相减法．
【知识清单】
知识点一．数列求和
1. 等差数列的前和的求和公式：.
2．等比数列前项和公式
一般地，设等比数列的前项和是，当时，或；当时，（错位相减法）.
3. 数列前项和
①重要公式：
（1）
（2）
（3）
（4）
②等差数列中，；
③等比数列中，.
【考点分类剖析】
考点一 ：公式法、分组转化法求和
【典例1】（2021·全国高三其他模拟）设数列的前项和为，且，________，在以下三个条件中任选一个填入以上横线上，并求数列的前项和．
①；②；③．
【答案】答案不唯一，具体见解析．
【解析】
选条件①时，直接利用数列递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和；
选条件②时，首先利用构造新数列法求出数列的通项公式，进一步用公式法求出求出数列的和；
选条件③时，首先利用构造新数列法求出数列的通项公式，进一步利用分组法求出数列的和.
【详解】
解：选条件①时，因为，所以，
所以，整理得，
所以为首项为2，公比为3的等比数列，所以，即
因为，
所以，
所以数列的前项和
．
即
选条件②时，；
整理得：，
故数列是以为首项，为公比的等比数列．
所以，
故，
所以，
所以为等差数列，
所以数列的前项和．
选条件③时，由于①，
当时，，②，
①－②得：，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
则，
所以数列的前项和
．
即
所以．
【典例2】（2019·天津高考真题（理））设是等差数列，是等比数列.已知.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足其中.
（i）求数列的通项公式；
（ii）求.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）（ii）
【解析】
(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为.
依题意得，解得，
故，.
所以，的通项公式为，的通项公式为.
(Ⅱ)(i).
所以，数列的通项公式为.
(ii)
.
【总结提升】
1．公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前项和的公式来求和.对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和立方数列等）也可以直接使用公式求和.
2．分组转化法求和的常见类型
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组转化法求{an}的前n项和．
(2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和．
3．分组转化求和法：有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.
4．倒序相加法：类似于等差数列的前项和的公式的推导方法，如果一个数列的前项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法，如等差数列的前项和公式即是用此法推导的．
5．并项求和法：一个数列的前项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如类型，可采用两项合并求解．例如，.
【变式探究】
1.（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知数列中，，，.
（1）求证：数列是等比数列;
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
（1）证明：因为
所以,
又因为,则,
所以数列是首项为2,公比为2的等比数列.
（2）由（1）知,所以,
所以
2．（2021·全国高三其他模拟（文））已知数列满足，，.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）设数列的前项的和为，求证：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1）利用定义法求为定值即可；
（2）利用分组求和法求得