人教专题7.4 数列求和 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（练）解析版.docx

专题7.4 数列求和
练基础
1．（2021·全国高三其他模拟）设数列{an}的前n项和为Sn，若，则S99＝（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解析】
采用裂项相消法求数列的和
【详解】
因为，
所以
故选C.
2．（2017·全国高考真题（理））（2017新课标全国II理科）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )
A．1盏 B．3盏
C．5盏 D．9盏
【答案】B
【解析】
设塔顶的a1盏灯，
由题意{an}是公比为2的等比数列，
∴S7=a1(1−27)1−2=381，
解得a1=3．
故选：B．
3．（2019·全国高考真题（文））已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
【答案】C
【解析】
设正数的等比数列{an}的公比为，则，
解得，，故选C．
4．（2020·山东曲阜一中高三3月月考）【多选题】在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（ ）
A．此人第二天走了九十六里路 B．此人第三天走的路程站全程的
C．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 D．此人后三天共走了42里路
【答案】ACD
【解析】
设此人第天走里路，则数列是首项为，公比为的等比数列，
因为，所以，解得，
对于A，由于，所以此人第二天走了九十六里路，所以A正确；
对于B，由于 ，所以B不正确；
对于C，由于，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，所以C正确；
对于D，由于，所以D正确，
故选：ACD
5.（2019·全国高考真题（文））记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________．
【答案】.
【解析】
设等比数列的公比为，由已知
，即
解得，
所以．
6．（2021·四川成都市·石室中学高三三模）记为递增等比数列的前n项和，若，则的值为______.
【答案】1023
【解析】
首先利用已知条件求得等比数列的公比和首项，最后根据等比数列的前n项和公式求出即可.
【详解】
因为数列为等比数列，
所以，解得，
设等比数列的公比为，
因为，
所以即，
解得或，
因为等比数列是递增数列，
所以，，
所以.
故答案为：1023
7．（2021·甘肃白银市·高三其他模拟（理））已知正项等比数列的前项和为，，，则数列中不超过2021的所有项的和为___________.
【答案】2046
【解析】
先根据题意列方程组，求出通项公式，再判断不超过2021的所有项的和为前10项的和，直接利用等比数列的前n项和公式求和即可.
【详解】
设正项等比数列的公比为q，，
因为，，
所以，解得：，所以.
令，解得：.
所以数列中不超过2021的所有项的和为：
.
故答案为：2046.
8．（2021·福建高三其他模拟）记为等比数列的前项和，已知，．
（1）求；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
（1）由已知，令，求出，再令，，求出等比数列的公比，由，即可求解；
（2）由（1）求出通项公式，可得数列为等比数列，根据等比数列的前项和公式，即可得出结论.
【详解】
（1）令，则由可得，
当时，由可得，
两式相减，可得，即，
依题意，为等比数列，故；
（2）由（1）可知为首项等于1，公比等于2的等比数列，故；
故为首项等于，公比等于的等比数列，
故．
故．
9．（2021·辽宁高三其他模拟）已知为等差数列，为等比数列，且满足．
（1）求和的通项公式；
（2）对任意的正整数n，设，求数列的前n项和．
【答案】（1），；（2）．
【解析】
（1）设出数列的公差和公比，结合条件求出公差和公比，然后写出通项公式；
（2）求出，结合错位相减法求和可得数列的前n项和．
【详解】
（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
由，则1＋3d＝4d，可得d＝1，所以，
因为，所以，整理得，解得q＝2，
所以；
（2），
，
两式相减，得
所以．
10．（2021·广东实验中学高三其他模拟）已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和Sn，满足an+1＝Sn+1（n∈N*）．
（1）求Sn；