人教高中数学微专题02 三角函数的范围与最值（解析版）.docx

微专题02 三角函数的范围与最值
【秒杀总结】
一、三角函数中的大小及取值范围
1、任意两条对称轴之间的距离为半周期的整数倍，即；
2、任意两个对称中心之间的距离为半周期的整数倍，即；
3、任意对称轴与对称中心之间的距离为周期加半周期的整数倍，即；
4、在区间内单调且
5、在区间内不单调内至少有一条对称轴，
6、在区间内没有零点且
7、在区间内有个零点．
二、三角形范围与最值问题
1、坐标法：把动点转为为轨迹方程
2、几何法
3、引入角度，将边转化为角的关系
4、最值问题的求解，常用的方法有：（1）函数法；（2）导数法；（3）数形结合法；（4）基本不等式法．要根据已知条件灵活选择方法求解．
【典型例题】
例1．（2023·全国·高三专题练****在中，，的内切圆的面积为，则边长度的最小值为（    ）
A．16 B．24 C．25 D．36
【答案】A
【解析】因为的内切圆的面积为，所以的内切圆半径为4．设内角，
，所对的边分别为，，．因为，所以，所以．因为，所以．设内切圆与边切于点，由可求得，则．又因为，所以．所以．又因为，所以，即，整理得．因为，所以，当且仅当时，取得最小值．
故选：A．
例2．（2023·全国·高三专题练****已知函数，其中，为的零点：且恒成立，在区间上有最小值无最大值，则的最大值是（    ）
A．11 B．13 C．15 D．17
【答案】C
【解析】由题意，是的一条对称轴，所以，即①
又，所以②
由①②，得，
又在区间上有最小值无最大值，所以
即，解得，要求最大，结合选项，先检验
当时，由①得，即，又
所以，此时，当时，，
当即时，取最小值，无最大值，满足题意.
故选：C
例3．（2023·高一课时练****如图，直角的斜边长为2，，且点分别在
轴，轴正半轴上滑动，点在线段的右上方．设，（），记，，分别考查的所有运算结果，则
A．有最小值，有最大值 B．有最大值，有最小值
C．有最大值，有最大值 D．有最小值，有最小值
【答案】B
【解析】依题意，所以.设，则，所以，，所以，当时，取得最大值为.
，所以，所以，当时，有最小值为.故选B.
例4．（2023·全国·高三专题练****已知函数图象上存在两条互相垂直的切线，且，则的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，令，
由，
得
，所以
由题意可知，存在，使得，
只需要，即，所以，，
所以的最大值为.
故选: D.
例5．（2023·全国·高三专题练****已知，函数恰有3个零点，则m的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，，
求导
由反比例函数及对数函数性质知在上单调递增，
且，，故在内必有唯一零点，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
令，解得或2，可作出函数的图像，
令，即，在之间解得或或，
作出图像如下图
数形结合可得：，
故选：A
例6．（2023·全国·高三专题练****已知函数在上单调递增，且当
时，恒成立，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知，函数在上单调递增，
所以，解得：，
由于，所以，解得：①
又因为函数在上恒成立，
所以，解得：，
由于，所以，解得：②
又因为，当时，由①②可知：，解得；
当时，由①②可知：，解得.
所以的取值范围为.
故选：B.
例7．（2023·全国·高三专题练****在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
的面积为S，若，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在中，，
故题干条件可化为，由余弦定理得，
故，又由正弦定理化简得：
，
整理得，故或（舍去），得
为锐角三角形，故，解得，故
故选：C
例8．（2023·上海·高三专题练****在钝角中，分别是的内角所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】延长交于，如下图所示：
为的重心，为中点且，
，，；
在中，；
在中，；
，，
即，整理可得：，为锐角；
设为钝角，则，，，
，，解得：，
，，
由余弦定理得：，
又为锐角，，即的取值范围为.
故选：C.
例9．（2023·全国·高三专题练****设锐角的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（    ）
A．(1，9] B．(3，9]
C．(5，9] D．(7，9]
【答案】D
【解析】因