人教高中数学微专题06 数列中的复杂递推式问题（解析版）.docx

微专题06 数列中的复杂递推式问题
【秒杀总结】
1、叠加法：；
2、叠乘法：；
3、构造法（等差，等比）：
①形如 (其中均为常数)的递推公式，，其中，构造，即是以为首项，为公比的等比数列．
②形如 (其中均为常数，)，可以在递推公式两边同除以，转化为型．
③形如，可通过取倒数转化为等差数列求通项．
4、取对数法：．
5、由和的关系求数列通项
（1）利用，化为．
（2）当不易消去，或消去后不易求，可先求，再由求．
6、数列求和：
（1）错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列(公比不等于1)对应项相乘构成的数列求和型
（2）倒序相加法
（3）裂项相消法
常考题型
数列的通项公式
裂项方法
等差数列型
是公差为的等差数列
是公差为的等差数列
无理型
指数型
对数型
三角型
是公差为的等差数列
阶乘型
【典型例题】
例1．已知数列满足且，设，则的值是　　
A． B． C． D．
【解答】解：数列满足且，①
可得，
当时，可得，②
①②可得，
即，
则，，
可得，
则
，
故选：．
例2．已知数列的通项公式为，其前项和为，则在数列，，，中，有理数项的项数为　　
A．42 B．43 C．44 D．45
【解答】解：由题意，可知：
．
．
，，为有理项，
又下标3，8，15，的通项公式为，
，且，
解得：，
有理项的项数为．
故选：．
例3．对于，　　．
【解答】解：由已知中的等式：
；
；
由以上等式我们可以推出一个一般结论：
对于，．
故答案为：．
例4．设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则的值为　　．
【解答】解：由，得，，
曲线在处的切线方程为，
取，得，
，
则
．
故答案为：．
例5．在数1和2之间插入个正数，使得这个数构成递增等比数列，将这个数的乘积记为，令，．
（1）数列的通项公式为　　；
（2）　　．
【解答】解：（1）设在数1和2之间插入个正数，使得这个数构成递增等比数列为，
则，，即，为此等比数列的公比．
，
，
故答案为：．
（2）由（1）可得，又，，
，．
，，
故答案为：．
例6．数列中，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是　　．
【解答】解：，
，
即，又，
数列是以2为首项，1为公差的等差数列，
，
．
不等式化为：．
，当且仅当时取等号，
由，则当时，取最小，最小值为
，
故答案为：，．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·江西景德镇·统考模拟预测）斐波那契数列满足，，设，则（    ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】C
【解析】因为，，
所以
，
所以.
故选：C
2．（2023·全国·模拟预测）1678年德国著名数学家莱布尼兹为了满足计算需要，发明了二进制，与二进制不同的是，六进制对于数论研究有较大帮助.例如在六进制下等于十进制的.若数列在十进制下满足，，，，则六进制转换成十进制后个位为（    ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】由题意可知：，，，则，，，，，，所以6是数列的一个周期，又，则3是数列的一个周期，且，，，则六进制转换成十进制的，因为，则有共有674项，每一项的个位数字均为6，所以最终的个为数字为4，即六进制转换成十进制后个位为4.
故选：.
3．（2023秋·广东·高三统考期末）在数列中，，且，则的值为（    ）
A．18 B．19 C．20 D．21
【答案】C
【解析】，且，
，
又
.故选:C.
4．（2023秋·江西·高三校联考期末）设，数列中，，，，则下列选项正确的是（    ）
A．当，时，则
B．当，时，则
C．当，时，则
D．当，时，则
【答案】D
【解析】选项A：当，时，，，∴.数列的周期为，∴，故A不正确；
选项B：，时，即，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以，∴，故选项B不正确；
选项C：当，时，即，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，则，则选项C也不正确；
选项D：当，时，即，则有，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴，∴则选项D正确，
故选：D
5．（2023·全国·高三专题练****已知数列满足，且，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由得：，数列为等差数列，
又，，数列的公差，
，