人教高中数学微专题22 计数原理与概率统计压轴小题（解析版）.docx

微专题22 计数原理与概率统计压轴小题
【典型例题】
例1．（2023·全国·高三专题练****现实世界中的很多随机变量遵循正态分布.例如反复测量某一个物理量，其测量误差通常被认为服从正态分布.若某物理量做n次测量，最后结果的误差，则为使的概率控制在0.0456以下，至少要测量的次数为（    ）
A．32 B．64 C．128 D．256
【答案】C
【解析】依题意，得，
所以，即，
而，所以且，
又因为，所以，，
所以且，即，解得，
故至少要测量的次数为.
故选：C.
例2．（2023·上海·高三专题练****若，则（    ）
A．244 B．243
C．242 D．241
【答案】C
【解析】显然，，
令得，
故.
故选：C.
例3．（2023·上海·高三专题练****信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X所有可能的取值为1，2，…，n，且，定义X的信息熵．
命题1：若，则随着n的增大而增大；
命题2：若，随机变量Y所有可能的取值为1，2，…，m，且，则．
则以下结论正确的是（    ）
A．命题1正确，命题2错误 B．命题1错误，命题2正确
C．两个命题都错误 D．两个命题都正确
【答案】A
【解析】若，则，故随着n的增大而增大，命题1正确；
，则，
而，，
，
所以，故，命题2错误；
故选：A
例4．（2023·全国·高三专题练****足球运动被誉为“世界第一运动”．深受青少年的喜爱．为推广足球运动，某学校成立了足球社团，社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率为，即．则下列说法正确的个数是（    ）
（1）；（2）；（3）；（4）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】甲传球给乙或丙，故，（1）正确；
乙或丙传球给其他两个人，故，（2）正确；
由题意得：要想第次触球者是甲，则第次触球的不能是甲，
且第次触球的人，有的概率将球传给甲，
故，C正确；
因为，设，
解得：，
所以
因为，
所以是以为首项，公比是的等比数列，
故，
所以，
故，
，
故，（4）错误.
说法正确的个数是3个.
故选：C
例5．（2023·上海·高三专题练****用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将3个偶数排成一排有种，再将3个奇数分两种情况插空有种，
所以任意相邻两个数字的奇偶性不同的6位数有种，
任意相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻，分两种情况讨论：
当个位是偶数：2在个位，则1在十位，此时有种；
2不在个位：将4或6放在个位，百位或万位上放2，在2的两侧选一个位置放1，最后剩余的2个位置放其它两个奇数，此时有种；
所以个位是偶数共有20种；
同理，个位是奇数也有20种，则任意相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻数有40种，
所以任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是.
故选：C
例6．（2023·全国·高三专题练****如图，用五种不同的颜色给图中的O，A，B，C，D，E六个点涂色（五种颜色不一定用完），要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂法种数是（    ）
A．480 B．720 C．1080 D．1200
【答案】D
【解析】先给O涂色，有种方法，接着给A涂色，有种方法，接着给B涂色，有种方法，
①若C与A同色，则有1种涂色方法，接着给D涂色，有3种涂色方法，
最后E有2种涂色方法；
②若C与A不同色，则有2种涂色方法，接着给D涂色，
若D与A同色，则有1种涂色方法，最后E有3种涂色方法；
若D与A不同色，则有2种涂色方法，最后E有2种涂色方法.
综上，涂色方法总数为
故选：D
例7．（2023·上海·高三专题练****甲乙丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人．则n次传球后球在甲手中的概率______．
【答案】
【解析】记表示事件“经过次传球后，球再甲的手中”，
设次传球后球再甲手中的概率为，
则有，
所以
，
即，
所以，且，
所以数列表示以为首项，为公比的等比数列，
所以，所以.
即n次传球后球在甲手中的概率是．
故答案为：.
例8．