人教高中数学小题满分练2.docx

小题满分练2
一、单项选择题
1．(2022·济宁模拟)若集合A＝{x|x2－2x－3<0}，B＝{x|3x≥9}，则A∪B等于(　　)
A．(－1,2] B．[2,3)
C．(－1，＋∞) D．(－∞，3)
答案　C
解析　A＝{x|x2－2x－3<0}＝{x|－1<x<3}，
B＝{x|3x≥9}＝{x|x≥2}，
故A∪B＝(－1，＋∞)．
2．(2022·新高考全国Ⅰ)若i(1－z)＝1，则z＋等于(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
答案　D
解析　因为i(1－z)＝1，所以z＝1－＝1＋i，
所以＝1－i，所以z＋＝(1＋i)＋(1－i)＝2.
3．(2022·唐山模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点A(－1,3)在角α的终边上，则sin 2α等于(　　)
A. B. C．－ D．－
答案　D
解析　根据三角函数的定义可知sin α＝
＝＝，
cos α＝＝＝－，
由二倍角公式得sin 2α＝2sin αcos α
＝2××＝－.
4.(2022·广州模拟)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝4CD，点E为AD的中点，设＝x＋y，则x＋y等于(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　连接BD(图略)，因为E为AD的中点，
所以＝＋，
因为＝＋＝＋，
所以＝＋
＝＋，
因为＝x＋y，
所以x＝，y＝，
所以x＋y＝＋＝.
5．(2022·广东六校联考)一般来说，事物总是经过发生、发展、成熟三个阶段，每个阶段的发展速度各不相同，通常在发生阶段变化速度较为缓慢、在发展阶段变化速度加快、在成熟阶段变化速度又趋于缓慢，按照上述三个阶段发展规律得到的变化曲线称为生长曲线．美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式为f(x)＝(K>0，a>0，b>0)，x∈[0，＋∞)，该函数也可以简化为f(x)＝(K>0，a>1，k<0)的形式．已知f(x)＝(x∈N)描述的是一种果树的高度随着时间x(单位：年)的变化规律，若刚栽种时该果树的高为1 m，经过一年，该果树的高为2.5 m，则该果树的高度超过8 m，至少需要(　　)
A．4年 B．3年
C．5年 D．2年
答案　A
解析　由题意知
则解得b＝2，k＝－1，
∴f(x)＝.
由函数解析式知，f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
而f(3)＝＝＝7.5<8，
f(4)＝＝9>8，
∴该果树的高度超过8 m，至少需要4年．
6.(2022·太原模拟)七巧板又称七巧图、智慧板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传．某同学用边长为12 cm的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形．现他从5个三角形中随意取出两个，则这两个三角形的面积之和不小于另外三个三角形面积之和的概率是(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　如图所示，设△ADO，△ABO，△GHO，△BEF，△MCF的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，
所以有S1＝S2＝×12×12＝36，S3＝S4＝××12×12＝9，S5＝××12×12＝18，所以5个等腰直角三角形的面积之和为108，依题意得所取的两个等腰直角三角形的面积之和大于或等于54，故只能在面积为18或36中取两个，所以所求概率为P＝＝.
7．(2022·德州质检)已知奇函数f(x)是定义在R上的单调函数，若正实数a，b满足f(2a)＋f(b－4)＝0，则＋的最小值是(　　)
A. B. C．2 D．4
答案　B
解析　因为f(2a)＋f(b－4)＝0，
所以f(2a)＝－f(b－4)，
因为奇函数f(x)是定义在R上的单调函数，
所以f(2a)＝－f(b－4)＝f(4－b)，
所以2a＝4－b，即2a＋b＝4，
所以2a＋2＋b＝6，即2(a＋1)＋b＝6，
所以＋＝[2(a＋1)＋b]
＝
＝
≥
＝×(4＋4)＝，
当且仅当＝，
即当a＝，b＝3时取等号，
所以＋的最小值是.
8．(2022·景德镇模拟)已知椭圆C：x2＋＝1(b>0，且b≠1)与直线l：y＝x＋m交于M，N两点，B为椭圆的上顶点，若|BM|＝|BN|，则椭圆C的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　设直线l：y＝x＋m与椭圆x2＋＝1的交点为M(x1，y1)，N(x2，