人教高中数学压轴题突破练2.docx

压轴题突破练2
1．(2022·菏泽模拟)已知函数f(x)＝ex－1－ax.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)－x2≥对于任意x≥0恒成立，求实数a的取值范围．
解　(1)f′(x)＝ex－1－a，
①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
②当a>0时，
令f′(x)＝ex－1－a＝0，x＝1＋ln a，
当x∈(－∞，1＋ln a)时，
f′(x)<0，f(x)在(－∞，1＋ln a)上单调递减；
当x∈(1＋ln a，＋∞)时，
f′(x)>0，f(x)在(1＋ln a，＋∞)上单调递增．
(2)由f(x)－x2≥，
得ex－1≥x2＋ax＋＝2，
对于任意x≥0恒成立，
因此
记h(x)＝
由h′(x)＝得x＝1＋2ln 2，
当x∈[0,1＋2ln 2]时，h′(x)<0，h(x)单调递减，
当x∈[1＋2ln 2，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，
所以h(x)min＝1－2ln 2，
因此a≤2－4ln 2；
记t(x)＝
易知t(x)单调递减，
所以t(x)max＝t(0)＝
所以a≥
综上，实数a的取值范围为
2．(2022·石家庄模拟)如图，已知双曲线C：－y2＝1，过点P(1,1)向双曲线C作两条切线，切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<0，x2>0.
(1)证明：直线PA的方程为－y1y＝1.
(2)设F为双曲线C的左焦点，证明：∠AFP＋∠BFP＝π.
证明　(1)显然直线PA的斜率存在，设直线PA的方程为y－1＝k(x－1)，
联立
消去y得(3k2－1)x2－6k(k－1)x＋3(k－1)2＋3＝0，
则Δ＝36k2(k－1)2－4(3k2－1)×3(k2－2k＋