微专题 利用导数研究方程的根 学案——2023届高考数学一轮人教版.docx

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微专题：利用导数研究方程的根
【考点梳理】
利用导数研究方程根(函数零点)的技巧
(1)研究方程根的情况,可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等.
(2)根据题目要求,画出函数图像的走势规律,标明函数极(最)值的位置.
(3)利用数形结合的思想去分析问题,可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.
【典例分析】
典例1．已知函数，．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，若函数与的图象在区间上有两个不同的交点，求实数k的取值范围．
典例2．已知函数．
(1)求证：的极小值为0；
(2)讨论方程实数解的个数．
典例3．已知函数
(1)若关于x的方程有3个不等实根，求的取值范围；
(2)若关于x的不等式对一切实数x恒成立，求ab的最大值.
【双基达标】
4．和是关于的方程的两个不同的实数根.
(1)求实数的取值范围；
(2)若，求证：.
5．已知函数，其中为常数，．
(1)求单调区间；
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(2)若且对任意，都有，证明：方程有且只有两个实根．
6．已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若方程在上有实根，求实数a的取值范围．
7．已知且，函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．
8．已知函数在区间内存在极值点．
(1)求实数k的取值范围；
(2)求证：在区间内存在唯一的，使，并比较与的大小．
9．已知函数.
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）若方程有两个不同的解，求实数a的取值范围.
10．已知函数，，．
(1)当时，函数有两个零点，求的取值范围；
(2)当时，不等式有且仅有两个整数解，求的取值范围．
【高分突破】
11．设a，b为实数，且，函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围；
（3）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足.
(注：是自然对数的底数)
12．已知函数（其中a，b为实数）的图象在点处的切线方程为．
(1)求实数a，b的值；
(2)证明：方程有且只有一个实根．
13．已知函数．（）在处的切线l方程为．
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(1)求a，b，并证明函数的图象总在切线l的上方（除切点外）；
(2)若方程有两个实数根，．且．证明：．
14．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，方程有四个根，求实数的取值范围．
15．已知函数（，e为自然对数的底数）．
(1)求函数的极值；
(2)若方程在区间内有两个不相等的实数根，证明：．
16．已知函数，．
(1)当a＝2时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论关于x的方程的实根个数．
17．已知函数，其中.
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，
①证明：；
②方程有两个实根，且，求证：.
18．已知：
(1)若在上单调递增，求实数m的取值范围；
(2)若，试分析，的根的个数.
19．已知函数.
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若关于x的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数a的取值范围.
20．已知函数（ …是自然对数的底数）．
（1）若在内有两个极值点，求实数 a的取值范围；
（2）时，讨论关于x的方程的根的个数．
21．一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设
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X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，．
（1）已知，求；
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
22．已知函数.
（1）求函数的最大值；
（2）若关于的方程有两个不等实数根，证明：.
23．已知函数有两个不同的零点，且.
（Ⅰ）求实数的取值范围；
（Ⅱ）若不等式对任意的恒成立，求实数的最大值；
（Ⅲ）求证：.
24．已知函数.
(1)当时，证明：函数的图象恒在函数的图象的下方；
(2)讨论方程的根的个数.
25．已知．
(1)若