人教高中数学重难点10四种解析几何数学思想（核心考点讲与练）(解析版）.docx

重难点10四种解析几何数学思想（核心考点讲与练）
能力拓展
题型一：函数与方程思想
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练****抛物线上的一动点M到直线距离的最小值是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】对求导可求与直线平行且与抛物线相切的切线方程，再利用两平行线的距离公式可得所求的最小距离．
【详解】因为，所以，
令，得，
所以与直线平行且与抛物线相切的切点，
切线方程为，即，
由两平行线的距离公式可得所求的最小距离
.
故选：A.
2．（2022·全国·高三专题练****点到直线的距离的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由点到距离公式把距离表示成的三角函数，根据三角函数性质求得距离的取值范围.
【详解】由点到直线距离公式有：
P到直线的距离为，
其中，
由三角函数性质易知，，
故，
故选：C.
3．（2020·全国·高三专题练****已知是椭圆上任一点，是坐标原点，则中点的轨迹方程为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】先设点和中点，再根据中点坐标公式得到中点的轨迹方程即可.
【详解】解：设点，中点，
因为点是中点，所以，则
又因为点满足椭圆方程，所以,
所以，化简得：
所以满足，
所以中点的轨迹方程为
故选：A
【点睛】本题考查代入法求点的轨迹方程，是基础题.
二、填空题
4．（2020·全国·高二课时练****在平面直角坐标系中，已知双曲线：的左，右焦点分别为，，设过右焦点且与轴垂直的直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若是正三角形，则双曲线的离心率为__________.
【答案】
【解析】不妨设点在轴上方，先求出点坐标，再由题得，化简即得双曲线的离心率.
【详解】不妨设点在轴上方，
联立得.
因为是正三角形，所以.
所以.
故答案为：
【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
5．（2020·江苏·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线(a＞0)的一条渐近线方程为，则a＝_______．
【答案】3
【解析】双曲线的焦点在轴上，渐近线为，结合渐近线方程为可求.
【详解】因为双曲线(a＞0)的渐近线为，且一条渐近线方程为，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线，明确双曲线的焦点位置，写出双曲线的渐近线方程的对应形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
6．（2022·全国·高三专题练****若过点且斜率为k的直线与双曲线只有一个公共点，则___________.
【答案】或
【分析】设直线方程，与双曲线联立，转化为方程只有一个根，此时要考虑到二次项系数为0的情况，分别解得k的值即可.
【详解】由题意可得，代入双曲线方程得.
当，即时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点；
当时，，解得.
综上，当或时，直线与双曲线只有一个公共点.
故答案为：或
三、解答题
7．（2022·全国·高三专题练****已知直线与轴交于点，与轴交于点
（1）若，，求的值；
（2）若，求直线的倾斜角的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）根据题意，由的值分析直线的倾斜角，即可得直线的斜率，分析可得，解可得的值，即可得答案;
（2）根据题意，直线的斜率，分与两种情况讨论的范围，分析可得倾斜角的范围，综合可得答案．
【详解】（1）根据题意，直线，其斜率，在轴上的截距为，
若，则,，则直线的倾斜角为，则有
变形可得，
解可得：或，
故或.
（2）根据题意，直线的斜率，设直线的倾斜角为，
当时，，直线的倾斜角为0，
当时，，
又由，当且仅当时等号成立，必有，
则有，又由，
则，
综合可得：，
故的取值范围为．
8．（2022·四川凉山·三模（理））已知椭圆经过点，过其焦点且垂直于x轴的弦长为1．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知曲线，在点P处的切线l交于M，N两点，且，求l的方程．
【答案】(1)(2)或
【分析】（1）根据题意可得，，解得
（2）设切点，根据导数可求切线方程，由可得，结合韦达定理求解．
（1）设椭圆的半焦距为，由题意可得：
椭圆过即          
解得：
∴椭圆方程为
(2)设
由即得
，
∴切线l的切点坐标为斜率为
切线l的方程为：即，
联立方程消去得
则可得：………①
………②
∵ 即
则，即………③
由