人教2023年高考物理二轮复习（全国版） 第2部分 四、数学方法在物理中的应用.docx

四、数学方法在物理中的应用
高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用，利用数学知识解决物理问题是高考物理考查的能力之一．借助数学方法，可使一些复杂的物理问题，显示出明显的规律性，能快速简捷地解决问题．可以说任何物理试题的求解过程实际上都是将物理问题转化为数学问题，经过求解再还原为物理结论的过程．下面是几种物理解题过程中常用的数学方法．
一、三角函数法
1．三角函数求极值
(1)y＝sin α，当α＝90°时，ymax＝1；
(2)y＝cos α，当α＝0时，ymax＝1.
例1　(2022·广西北海市模拟)在仰角α＝30°的雪坡上举行跳台滑雪比赛，如图所示．运动员从坡上方A点开始下滑，到起跳点O时借助设备和技巧，保持在该点的速率不变而以与水平面成θ角的方向起跳．最后落在坡上B点，坡上O、B两点距离为L.已知A点高于O点h＝50 m，不计摩擦和阻力，则O、B两点距离L最大值为多少？此时起跳角为多大？(取g＝
10 m/s2)
答案　200 m　30°
解析　运动员在O点速度v0＝＝10 m/s.起跳后运动员做斜上抛运动．
把运动分解为水平向右的匀速运动和竖直方向的竖直上抛运动．
水平方向上有x＝v0cos θ·t，
竖直方向上有y＝v0sin θ·t－gt2，
令y＝－xtan α，
解得x＝
＝.
当2θ＋α＝90°，
即θ＝30°时，
xmax＝，
此时L有极大值Lmax＝＝200 m.
2．辅助角求极值
三角函数：y＝acos θ＋bsin θ
y＝acos θ＋bsin θ＝sin(θ＋α)，其中tan α＝.
当θ＋α＝90°时，有极大值ymax＝.
例2　(多选)如图所示，固定于竖直面内的粗糙斜杆，与水平方向夹角为30°，质量为m的小球套在杆上，在大小不变、方向与斜杆成α角的拉力F作用下，小球沿杆由底端匀速运动到顶端．已知小球与斜杆之间的动摩擦因数为μ＝，则关于拉力F的大小和F的做功情况，下列说法正确的是(　　)
A．当α＝30°时，拉力F最小
B．当α＝30°时，拉力F做功最小
C．当α＝60°时，拉力F最小
D．当α＝60°时，拉力F做功最小
答案　AD
解析　由题中选项可知要使F最小，则应有Fsin α<mgcos 30°，故根据平衡条件有Fcos α＝mgsin 30°＋μ(mgcos 30°－Fsin α)，解得：F＝＝，由数学知识知，当α＝30°时，拉力F最小，A正确，C错误；当α＝60°时，F＝mg，因为没有摩擦力，拉力做功最小，Wmin＝mgh，所以B错误，D正确．
3．正弦定理
在如图所示的三角形中，各边和所对应角的正弦之比相等，即：＝＝.
例3　(2022·河北衡水市模拟)如图所示为一个半径r＝48 cm的薄壁圆柱形鱼缸的横截面，O为圆心．鱼缸内装满水，水中有一条小鱼(可视为质点)．观察水中图示位置的小鱼时，人眼睛所接收的光线恰与小鱼和圆心连线的延长线垂直，图中β＝53°.已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝
0.6.若认为玻璃和水的折射率均为n＝.求小鱼到圆心O的距离．
答案　30 cm
解析　如图所示，由小鱼S射向P点的光线入射角为α，折射光线进入眼睛，折射角β＝53°
根据折射定律有n＝，
得sin