人教版八年级角的平分线精讲精练(含解答).zip

角的平分线
【基础知识精讲】
角平分线是过角的顶点，且在角的内部的一条射线，它把一个角分成两个相等的角，它与角的两边三线共点.(角的顶点)
角平分线是到角两边距离相等的所有点的集合.关于这一点需从两个方面去说明：①角平分线上的点到角两边的距离相等.②到角两边距离相等的点在角平分线上.进而推广到一般，若要证明某一图形B是满足条件A的点的集合，要说明两点：①图形B上的所有点满足条件A.②满足条件A的所有点都在图形B上.
关于命题“角平分线上的点到角两边距离相等”的证明，先要分清题目的题设部分及结论部分.依照命题准确作出图形，写出已知、求证，再利用相关知识进行证明，这也是证明一个命题(定理)的几个基本步骤.
角平分线性质定理及其逆定理(判定定理)的证明分别利用了全等三角形中“AAS”定理及“HL”公理.
本节还介绍了互逆命题及互逆定理，两个命题若条件（题设）与结论位置互换，即一个命题条件是另一个命题的结论，同时它的结论是另一命题的条件，则两命题互为逆命题.若一个定理的逆命题是真命题，则称逆命题为该定理的逆定理.这两个定理互为逆定理.
应当注意，每个命题都有逆命题，每个定理也有逆命题，但不一定有逆定理，只有当逆命题正确而成为定理时，才是原定理的逆定理.一个命题的正确与否与它的逆命题正确与否无关.
难点：是“角平分线是到角两边距离相等的点的集合”这一结论的理解及运用.
例1 △ABC中，∠C=90°，AD为角平分线，BC=64，BD∶DC=9∶7,求D到AB的距离.(图3.9-1)
图3.9-1
分析 设DE为D到AB的距离，由角平分线性质CD=DE，再由已知可求CD、DE.
解 作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，DC⊥AC，又AD为∠BAC平分线，∴DC=DE，BC=64，BD∶DC=9∶7
∴DC=×64=28 ∴DE=28
例2 求证：三角形三条内角平分线交于一点.
分析 此类命题证明需先作图，写出已知、求证，再根据条件进行证明.
证明三直线共点，常用方法之一为二直线的交点必在第三条直线上，此题中，可考虑如图3.9-2，设∠ABC与∠ACB的平分线交于O，再证AO平分∠BAC.
图3.9-2
已知：△ABC中，AA′，BB′，CC′为角平分线，求证AA′，BB′，CC′交于一点.
证 设BB′，CC′交于O，过O分别作OD⊥BC于D，DE⊥AC于E，OF⊥AB于F，∵O在∠ABC平分线上，∴OD=OF.
O在∠ACB平分线上，∴OE=OD ∴OE=OF.
∴O在∠BAC平分线上，即O在AA′上，∴AA′，BB′，CC′交于一点.
注：该点称为三角形内心.
例3 定理“末位数字为0的整数能被5整除”是否存在逆定理？请说明理由.
分析 先写出逆命题：“能被5整除的整数末位数字是0”，再说明逆命题的真假，显然这是一个假命题，我们只需举一反倒即可，例如15能被5整除，但末位数字为5，故逆命题为假命题，因此原定理没有逆定理
判断命题“两整数相加，和为整数”的逆命题的真假.
解 逆命题为“和为整数，则两加数必为整数”，它是一个假命题，如“+=1，+=2”等，都能说明逆命题为假命题.
【难题巧解点拨】
例1 △ABC的周长为41cm,边BC=17c