人教版八年级全等三角形培优试题.zip

“全等三角形”培优学案（1）
命题：八年级数学组 刘晓创 时间： 2008年9月10日
一、 例题精析
例1：如图2-7-1，△ABC和△DCE均是等边三角形，B、C、E三点共线，AE交CD于G，BD交AC于F。
　　求证：　① AE=BD　② CF=CG
思路 ① 证明△ACE≌△BCD。
　　证明 ① ∵ △ABC和△DCE都是等边三角形，
　　∴ CB=CA， CD=CE，∠BCA=∠ECD=60°，
　　∴ ∠BCD=∠ACE=120°，
　　∴ △BCD≌△ACE，
　　∴ AE=BD。
思路 ② 证明△FCD≌△GCE。
　　证明 ② 由△BCD≌△DCE都是等边三角形可知
　　∴ CD=CE，∠BCA=∠ECD=60°
　　∴ ∠ACD=180°-∠BCA-∠ECD=60°　　
∴ △FCD≌△GCE， ∴ CF=CG
　　
例2：如图2-7-2，在正方形ABCD中，M是AB的中点，MN⊥MD，
BN平分∠CBE。
求证：MD=MN。
思路：取AD的中点P，连结PM，证明△DMP≌△MNB。
　　证明：取AD的中点P，连结PM，则有DP=MB。
　　∵ DM⊥MN，
　　∴ ∠DMA+∠BMN=90°，
　　又由正方形ABCD 知∠A=90°，
∴ ∠DMA+∠MDA=90°， ∴ ∠BMN=∠MDA
　　又 ∵BN平分∠CBE， ∴ ∠MBN=135°　　
又由P、M分别为AD、AB的中点，ABCD是正方形，
得△PAM是等腰直角三角形，故∠DPM=135°。
　　∴ ∠DPM=∠MBN， ∴ △DPM≌△MBN，
　　∴ DM=MN。
变式题:若把条件“M是BC的中点”改为“M是BC边上任意一点”,
其他条件不变,结论还成立吗?
答:结论仍成立.
在BA上截取BP=BM,连结MP.
证⊿APM≌⊿MCN。
例3：如图2-7-3，△ABC中，∠ABC=2∠C，∠BAC的平分线交BC于D。
求证：AB+BD=AC
思路1：延长AB到E，使BE=BD，证明△AED≌△ACD。
证法1：延长AB到E，使BE=BD，连结ED，则∠E=∠BDE。
∴ ∠ABD=∠E+∠BDE=2∠E 又∵ ∠ABC=2∠C，
∴ ∠C=∠E ∵ ∠AD平分∠BAC，
∴ ∠1=∠2， 又∵ AD=AD，
∴ △ADE≌△ADC， ∴ AC=AE。
即 AC=AB+BE=AB+BD。
思路2：在AC上取一点E，使AE=AB，
证明△AED≌△ABD。
证法2：在AC上取点E，使AE=AB，连结CD。
由AD平分∠BAC 得∠1=∠2
又∵ AD=AD， ∴△ADB≌△ADE，
∴ ∠AED=∠ABC，DE=DB，又∵ ∠ABC=2∠C，
∴ ∠AED=2∠C
又∵ ∠AED=∠EDC+∠C， ∴ ∠EDC=∠C，
∴ ED=EC， ∴ EC=BD，
∴ AB+BD=AE+EC+AC。
二、 巩固提高