人教版九年级抛物线存在问题评析.zip

抛物线与存在问题评析（08-09）
抛物线是初中数学内蕴最丰富的内容，存在性问题是中考中年年推新的热点，把抛物线与存在性问题结合起来，是考察数学素养、学****能力、心理发展状态的有力的杠杆，因此，不论从考试研究，还是从教学实践的角度，这类素材都弥族珍贵，值得向广大优秀教师推荐。
第一类：图形存在问题
（第25题图）
A
x
y
B
C
O
1-1（08，广东茂名）如图，在平面直角坐标系中，抛物线=－++经过A（0，－4）、B（，0）、 C（，0）三点，且-=5．
（1）求、的值；
（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．
（1）解法一：
∵抛物线=－++经过点A（0，－4），
∴=－4 ……1分
又由题意可知，、是方程－++=0的两个根，
∴+=， =－=6 2分
由已知得（-）=25
又（-）=（+）－4=－24
∴ －24=25
解得=± 3分
当=时，抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，不合题意，舍去．
∴=－． 4分
解法二：∵、是方程－++c=0的两个根，
即方程2－3+12=0的两个根．
∴=， 2分
∴－==5，
解得 =± 3分
（以下与解法一相同．）
（2）∵四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上， 5分
又∵=－－－4=－（+）+ 6分
∴抛物线的顶点（－，）即为所求的点D． 7分
（3）∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（－6，0），
根据菱形的性质，点P必是直线=-3与
抛物线=－--4的交点， 8分
∴当=－3时，=－×（－3）－×（－3）－4=4，
∴在抛物线上存在一点P（－3，4），使得四边形BPOH为菱形． 9分
四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是（－3，3），但这一点不在抛物线上． 10分
y
x
O
第26题图
D
E
C
F
A
B
1-2（08，辽宁沈阳）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的负半轴上，边在轴的正半轴上，且，，矩形绕点按顺时针方向旋转后得到矩形．点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，抛物线过点．
（1）判断点是否在轴上，并说明理由；
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）在轴的上方是否存在点，点，使以点为顶点的平行四边形的面积是矩形面积的2倍，且点在抛物线上，若存在，请求出点，点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）点在轴上 1分
理由如下：
连接，如图所示，在中，，，
，
由题意可知：
点在轴上，点在轴上． 3分
（2）过点作轴于点
，
在中，，
点在第一象限，
点的坐标为 5分
由（1）知，点在轴的正半轴上
点的坐标为
点的坐标为 6分
抛物线经过点，
由题意，将，代入中得
解得
所求抛物线表达式为： 9分
（3）存在符合条件的点，点． 10分
理由如下：矩形的面积
以为顶点的平行四边形面积为．
由题意可知为此平行四边形一边，
又
边上的高为2 11分
依题意设点的坐标为
点在抛物线上
解得，，
，
以为顶点的四边形是平行四边形，
y
x
O
D
E
C
F
A
B
M
，，
当点的坐标为时，
点的坐标分别为，；
当点的坐标为时，
点的坐标分别为，． 14分
1-3（08，湖南湘潭）已知抛物线经过点A（5，0）、B（6，-6）和原点.
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若过点B的直线与抛物线相交于点C（2，m），请求出OBC的面积S的值.
（3）过点C作平行于x轴的直线交y轴于点D，在抛物线对称轴右侧位于直线DC下方的抛物线上，任取一点P，过点P作直线PF平行于y轴交x轴于点F，交直线DC
于点E. 直线PF与直线DC及两坐标轴围成矩形OFED（如图），是否存在点P，使得OCD与CPE相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
x
y
-4
-6
C
E
P
D
B