北京市首师大附中人教版高二（下）期末数学试卷（理科）（解析版）.zip

2015-2016学年北京市首师大附中高二（下）期末数学试卷（理科）
　
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数z=（a2﹣1）+（a+1）i，若z是纯虚数，则实数a等于（　　）
A．2 B．1 C．±1 D．﹣1
2．已知圆的极坐标方程是ρ=2cosθ，那么该圆的直角坐标方程是（　　）
A．（x﹣1）2+y2=1 B．x2+（y﹣1）2=1 C．（x+1）2+y2=1 D．x2+y2=2
3．双曲线﹣=1的渐近线方程为（　　）
A．4x±9y=0 B．9x±4y=0 C．3x±2y=0 D．2x±3y=0
4．已知sin（）=，那么sin2x的值为（　　）
A． B． C． D．
5．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为．其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（　　）
A． B． C．8cm2 D．4cm2
6．（sinx+acosx）dx=2，则实数a等于（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣ D．
7．如果存在正整数ω和实数φ使得函数f（x）=cos2（ωx+φ）（ω，φ为常数）的图象如图所示（图象经过点（1，0）），那么ω的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，D为四面体OABC外一点．给出下列命题．
①不存在点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形
②不存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥
③存在点D，使CD与AB垂直并且相等
④存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上
其中真命题的序号是（　　）
A．①② B．②③ C．③ D．③④
　
二、填空题（共6小题，每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）
9．复数=______．
10．各项均为正数的等比数列{{an}的前n项和为Sn，若a3=2，S4=5S2，则a1的值为______，S4的值为______．
11．已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到AC的距离为2，AB=3，则切线AD的长为______．
12．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数）和直线l：3x+4y﹣10=0，则直线l与圆C相交所得的弦长等于______．
13．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点作倾斜角为60°的直线，与抛物线分别交于A，B两点（点A在x轴上方），=______．
14．已知数列{an}的各项均为正整数，对于n=1，2，3，…，有an+1=，其中k为使an+1为奇数的正整数，当a1=11时，a2016=______；若存在m∈N*，当n＞m且an为奇数时，an恒为常数p，则p的值为______．
　
三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos=．
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）若a=3，b=2，求c的值．
16．等差数列{an}中，a1=3，前n项和为Sn，等比数列{bn}各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，{bn}的公比．
（1）求an与bn．
（2）证明：小于．
17．在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．
（Ⅰ） 求证：AB∥平面DEG；
（Ⅱ） 求证：BD⊥EG；
（Ⅲ） 求二面角C﹣DF﹣E的余弦值．
18．已知椭圆的右焦点为F（1，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且△OMF是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心（即三角形三条高线的交点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
19．已知函数f（x）=lnx+（a＞0）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）P（x0，y0）是曲线y=f（x）上的任意一点，若以P（x0，y0）为切点的切线的斜率k≤恒成立，求实数a的最小值；
（3）若关于x的方程=f（x）+在区间（0，e）上有两个不相等的实根，求实数b的取值范围．
20．现有一组互不相同且从小到大排列的数据：a0，a1，a2，a3，a4，a5，其中a0=0，为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工：
记T=a0+a1+…+a5，xn=，yn= （a0+a1+…+an），作函数y=f（x），使其图象为逐点依次连接点Pn（xn，yn）（n=0，1，2，…