北京市首师大附中人教版高二（下）期末数学试卷（文科）（解析版）.zip

2015-2016学年北京市首师大附中高二（下）期末数学试卷（文科）
　
一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．已知复数z=（a2﹣1）+（a+1）i，若z是纯虚数，则实数a等于（　　）
A．2 B．1 C．±1 D．﹣1
2．双曲线=1的渐近线方程是（　　）
A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x
3．已知sin（）=，那么sin2x的值为（　　）
A． B． C． D．
4．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点，因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（0）=0，所以，x=0是函数f（x）=x3的极值点．以上推理中（　　）
A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确
5．设实数{an}和{bn}分别是等差数列与等比数列，且a1=b1=16，a5=b5=1，则以下结论正确的是（　　）
A．a3＞b3 B．a2＜a3 C．a3＜b3 D．b2＞b3
6．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，计算该几何体的表面积为（　　）
A．15π B．18π C．22π D．33π
7．点P是曲线y=x2﹣1nx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的距离的最小值是（　　）
A．1 B． C．2 D．2
8．如图，四面体OABC的三条棱OA，OB，OC两两垂直，OA=OB=2，OC=3，D为四面体OABC外一点．给出下列命题．
①不存在点D，使四面体ABCD有三个面是直角三角形
②不存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥
③存在点D，使CD与AB垂直并且相等
④存在无数个点D，使点O在四面体ABCD的外接球面上
其中真命题的序号是（　　）
A．①② B．②③ C．③ D．③④
　
二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分.
9．在复平面内，复数z=对应的点位于第　　象限．
10．函数f（x）=sin（x+）+cos2的振幅为　　，最小正周期为　　．
11．已知Sn为等差数列{an}的前n项的和，S1＞0，且S4＞S6，则S10为　　．（填“正数”、“负数”或“零”）
12．函数f（x）=1﹣cos（﹣x）﹣cos2x的最大值为　　，最小值为　　．
13．△ABC中，A=，b=2，以下命题中正确的序号是　　．
①若a=1，则c有一解；
②若a=，则c有两解；
③若a=，则c有两解；
④若a=3，则c有两解．
14．已知数列{an}的各项均为正整数，对于n=1，2，3，…，有an+1=，其中k为使an+1为奇数的正整数，当a1=11时，a2016=　　；若存在m∈N*，当n＞m且an为奇数时，an恒为常数p，则p的值为　　．
　
三、解答题：共6小题，共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos=．
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）若a=3，b=2，求c的值．
16．等差数列{an}中，a1=3，前n项和为Sn，等比数列{bn}各项均为正数，b1=1，且b2+S2=12，{bn}的公比q=．
（1）求an与bn；
（2）证明：≤++…+＜．
17．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M，N分别为AB，B1C1的中点．
（I）求证：MN∥平面AA1C1C；
（II） 若CC1=CB1，CA=CB，平面CC1B1B⊥平面ABC，求证：AB⊥平面CMN
（III）若直线A1B1与平面CMN的交点为D，试确定的值．
18．已知函数f（x）=lnx+（a＞0）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）如果P（x0，y0）是曲线y=f（x）上的任意一点，若以P（x0，y0）为切点的切线的斜率k≤恒成立，求实数a的最小值；
（3）讨论关于x的方程f（x）=的实根情况．
19．已知椭圆的右焦点为F（1，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且△OMF是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使点F为△PQM的垂心（即三角形三条高线的交点）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
20．设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①方程f（x）﹣x=0有实数根； ②函数f（x）的导数f'（x）满足0＜f'（x）＜1．”
（I）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；
（II）集合M中的元素f（x）具有下面的性质：若f（x