江苏省连云港市人教版高二（下）期末数学试卷（理科）（解析版）.zip

2015-2016学年江苏省连云港市高二（下）期末数学试卷（理科）
　
一、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共70分）
1．复数（1+i）2（i为虚数单位）的虚部是______．
2．已知矩阵的逆矩阵是，则正实数a=______．
3．已知复数z满足|z|=1，则|z﹣3+4i|的最大值是______．
4．甲、乙、丙3人独立地破译某个密码，每人译出密码的概率均为，则恰有2人译出密码的概率是______．
5．观察等式：13=1，13+23=9，13+23+33=36，13+23+33+43=100，…，由以上等式推测到一个一般的结论，对于n∈N*，13+23+33+…+n3=______．
6．类比关于正三角形的结论“边长为a的正三角形内部任一点到3条边的距离之和为定值a”，可以得到空间中“棱长为a的正四面体内部任一点到四个面的距离之和为定值______．
7．如图，已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB=4，AD=3，AA1=5，∠BAA1=∠DAA1=60°，则A1C的长为______．
8．计算：C+C+C+C+C+…+C+C=______．
　
二、解答题（本大题共8小题，共120分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
9．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中取出4个数字，试问：
（1）有多少个没有重复数字的排列？
（2）能组成多少个没有重复数字的四位数？
（3）能组成多少个大于3000的没有重复数字的四位偶数？
10．已知矩阵A=，其中a，b∈R，若点P（1，1）在矩阵A的变换下得到点Q（3，3），向量=．
（1）求a，b的值及矩阵A的特征值、特征向量；
（2）计算A20．
11．已知曲线C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，已知直线l的参数方程为（t为参数）．
（1）判断直线l与曲线C的位置关系并说明理由；
（2）若直线l与抛物线x2=4y相交于A，B两点，求线段AB的长．
12．在一个口袋中装有3个白球，4个黑球，3个红球，一次从中摸出3个球．
（1）求摸出的3个球颜色不全相同的概率；
（2）规定摸出1个白球、1个黑球、1个红球分别得1分、2分、3分，设X为摸出3个球的得分之和，求随机变量X≥6的概率分布及数学期望E（X≥6）．
13．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，点M在AA1上．
（1）当直线BD1与直线CM所成角的余弦值为时，求AM的长；
（2）当AM=1时，求二面角C﹣BD1﹣M的余弦值．
14．已知函数f（x）=ex﹣e﹣x﹣2x（e≈2.71828），x∈R．
（1）求证：函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数；
（2）求证：对于任意的正实数a，b，都有f（）≤f（）；
（3）若存在x0∈R，使f（f（x0））=x0，求证：f（x0）=x0．
15．设（3x﹣1）15=a0+a1x+a2x2+…+akxk…+a14x14+a15x15求：
（1）ak；
（2）a4+a6+a8+a10+a12+a14；
（3）（k+1）ak．
16．将正整数作如下分组：（1），（2，3），（4，5，6），（7，8，9，10），（11，12，13，14，15），（16，17，18，19，20，21），…，分别计算各组包含的正整数的和如下：
S1=1，
S2=2+3=5，
S3=4+5+6=15
S4=7+8+9+10=34，
S5=11+12+13+14+15=65，
S6=16+17+18+19+20+21=111，
…
记Tn=S2+S4+S6+…+S2n．
（1）求T1，T2，T3，T4；
（2）猜想Tn的结果，并用数学归纳法证明．
　
2015-2016学年江苏省连云港市高二（下）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
　
一、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共70分）
1．复数（1+i）2（i为虚数单位）的虚部是　2　．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简复数（1+i）2得答案．
【解答】解：（1+i）2=1+2i+i2=2i，
则复数（1+i）2（i为虚数单位）的虚部是：2．
故答案为：2．
　
2．已知矩阵的逆矩阵是，则正实数a=　2　．
【考点】逆矩阵的意义．
【分析】由求得丨A丨=a2﹣3，由A﹣1=×A*，求得A﹣1，根据矩阵相等求得a的值．
【解答】解：设A=，则丨A丨=a2﹣3，