《成才之路》高二数学（人教A版）选修1-2备选题库：第二章 推理与证明（4份）.zip

1．“自然数a、b、c中恰有一个偶数”的否定为(　　)
A．自然数a、b、c都是奇数
B．自然数a、b、c都是偶数
C．自然数a、b、c中至少有两个偶数
D．自然数a、b、c都是奇数或至少有两个偶数
[答案]　D
[解析]　恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无偶数，其二是至少有两个偶数．
2．若a>b>0，则下列不等式中总成立的是(　　)
A．a＋>b＋ B.>
C．a＋>b＋ D.>
[答案]　A
[解析]　可通过举反例说明B、C、D均是错误的，或直接论证A选项正确．
3．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若a、b、c三边的倒数成等差数列，求证：∠B<90°.
[解析]　假设∠B<90°不成立，即∠B≥90°，从而∠B是△ABC的最大角，∴b是△ABC的最大边，即b>a，b>c.
∴>，>，相加得
＋>＋＝，这与＋＝矛盾．
故∠B≥90°不成立．∴∠B<90°.
4．用反证法证明：已知a、b均为有理数，且和都是无理数，求证：＋是无理数．
[解析]　解法一：假设＋为有理数，令＋＝t，
则＝t－，两边平方，得b＝t2－2t＋a，
∴＝.
∵a、b、t均为有理数，
∴也是有理数．
即为有理数，这与已知为无理数矛盾．
故假设不成立．
∴＋一定是无理数．
解法二：假设＋为有理数，
则(＋)(－)＝a－b.
由a>0，b>0，得＋>0.
∴－＝.
∵a、b为有理数，即a－b为有理数．
∴为有理数，∴－为有理数．
∴(＋)＋(－)为有理数，即2为有理数．
从而也就为有理数，这与已知为无理数矛盾，
∴＋一定为无理数．