《成才之路》高二数学（人教A版）选修2-1能力拓展提升：第二章 圆锥曲线与方程（11份）.zip

能力拓展提升
一、选择题
10．过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　B
[解析]　把x＝－c代入椭圆方程可得yc＝±，
∴|PF1|＝，∴|PF2|＝，
故|PF1|＋|PF2|＝＝2a，即3b2＝2a2.
又∵a2＝b2＋c2，
∴3(a2－c2)＝2a2，
∴()2＝，即e＝.
11．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足·＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是(　　)
A．(0,1) B．(0，]
C．(0，) D．[，1)
[答案]　C
[解析]　依题意得，c<b，即c2<b2，
∴c2<a2－c2,2c2<a2，故离心率e＝<，
又0<e<1，∴0<e<，故选C.
12．(2013·天津耀华中学模拟)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　)
A．2 B．3
C．6 D．8
[答案]　C
[解析]　由题意可知O(0,0)，F(－1,0)，设点P为(x，y)，则＝(x，y)，＝(x＋1，y)，
∴·＝x(x＋1)＋y2＝x2＋x＋y2
＝x2＋x＋3－x2
＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2.
∵x∈[－2,2]，∴当x＝2时，·取最大值．
(·)max＝(2＋2)2＋2＝6，故选C.
13．设椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)(　　)
A．必在圆x2＋y2＝2上
B．必在圆x2＋y2＝2外
C．必在圆x2＋y2＝2内
D．以上三种情形都有可能
[答案]　C
[解析]　e＝⇒＝⇒c＝，
＝⇒＝
⇒＝⇒b＝a.
∴ax2＋bx－c＝0⇒ax2＋ax－＝0
⇒x2＋x－＝0，x1＋x2＝－，x1x2＝－，
∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋1＝<2.
∴在圆x2＋y2＝2内，故选C.
二、填空题
14．设F1、F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右两个焦点，若椭圆C上的点A(1，)到F1、F2两点的距离之和为4，则椭圆C的方程是________，焦点坐标是________．
[答案]　＋＝1　(±1,0)
[解析]　由|AF1|＋|AF2|＝2a＝4得a＝2.
∴原方程化为：＋＝1，
将A(1，)代入方程得b2＝3.
∴椭圆方程为：＋＝1，焦点坐标为(±1,0)．
15．如图，在椭圆中，若AB⊥BF，其中F为焦点，A、B分别为长轴与短轴的一个端点，则椭圆的离心率e＝________.
[答案]　
[解析]　设椭圆方程为＋＝1，则有A(－a,0)，B(0，b)，F(c,0)，由AB⊥BF，得kAB·kBF＝－1，而kAB＝，kBF＝－代入上式得＝－1，利用b2＝a2－c2消去b2，得－＝1，即－e＝1，解得e＝，
∵e>0，∴e＝.
三、解答题
16．中心在原点O，焦点在坐标轴上的椭圆与直线x＋y＝1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM的斜率为，且OA⊥