人教版高三第一章专题强化练１利用空间向量基本定理解决立体几何问题 （Word版含解析）.docx

专题强化练1　利用空间向量基本定理解
决立体几何问题
一、选择题
1.(2020海南文昌中学高二上月考,)如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BD的交点为M,设AB=a,AD=b,AA1=c,则下列向量中与C1M相等的向量是(　　)
A.-12a+12b+c
B.12a+12b+c
C.-12a-12b-c
D.-12a-12b+c
2.(2019陕西高三联考,)已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC上的射影为BC的中点,则异面直线AB与CC1所成角的余弦值为(　　)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.34 B.34 C.54 D.516
3.(2019黑龙江大庆铁人中学期末,)如图,在四面体OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°,∠OAB=60°,则OA与BC所成角的余弦值为(　　)
A.3-225 B.2-26
C.12 D.32
二、填空题
4.(2020河北武邑中学高二上月考,)已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AA1=2,AC=BC=1,则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是　　　　. 
5.(2020安徽合肥一六八中学高二月考,)如图,在三棱锥D-ABC中,已知AB=2,AC·BD=-3,设AD=a,BC=b,CD=c,则c2ab+1的最小值为　　　　. 
三、解答题
6.(2020浙江宁波高二上期中,)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC,A1C⊥BC1,AB1⊥BC1,D,E分别是AB1,BC的中点.求证:
(1)DE∥平面ACC1A1;
(2)AE⊥平面BCC1B1.(用向量方法证明)
7.(2020海南海口第一中学高三上月考,)如图所示,在四棱锥E-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠ADC=60°,AC与BD交于点O,EC⊥底面ABCD,F为BE的中点,AB=CE.
(1)求证:DE∥平面ACF;
(2)求异面直线EO与AF所成角的余弦值;
(3)求AF与平面EBD所成角的正弦值.深度解析
答案全解全析
一、选择题
1.C　C1M=AM-AC1=12(AB+AD)-(AB+AD+AA1)=-12a-12b-c,故选C.
2.B　设AB=a,AC=b,AA1=c,BC的中点为D,则A1D⊥平面ABC,∴A1D⊥AB,
设三棱柱的各棱长均为1,则|a|=|b|=|c|=1,且<a,b>=60°,
∴A1D=AD-AA1=12(a+b)-c,
∴A1D·AB=12a+12b-c·a=0,
解得a·c=34,∴cos<a,c>=a·c|a||c|=341×1=34,
∴异面直线AB与CC1所成角的余弦值为34.
3.A　因为BC=AC-AB,
所以OA·BC=OA·(AC-AB)
=OA·AC-OA·AB
=|OA||AC|cos<OA,AC>-|OA||AB|·cos<OA,AB>
=8×4×cos 135°-8×6×cos 120°=-162+24.
所以cos<OA,BC>=OA·BC|OA||BC|=24-1628×5=3-225,
即OA与BC所成角的余