人教版高三第一章专题强化练2　空间向量与立体几何的综合应用 同步练习（Word版含解析）.docx

专题强化练2　空间向量与立体几何的综合应用
解答题
1.(2020陕西西安中学高二月考,)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60°.
(1)求证:BD⊥平面PAC;
(2)若PA=AB,求PB与AC所成角的余弦值.
2.(2020安徽合肥六中高二上期末,)如图,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,AC⊥AB,AC=AB=4,AA1=6,点E、F分别为CA1、AB的中点.
(1)证明:EF∥平面BCC1B1;
(2)求B1F与平面AEF所成角的正弦值.
3.()如图,正三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长均为4,N是CC1的中点.
(1)求点N到直线AB的距离;
(2)求点C1到平面ABN的距离.
4.(2020山东烟台第一中学高三上联考,)如图所示的几何体中,BE⊥BC,EA⊥AC,BC=2,AC=22,∠ACB=45°,AD∥BC,BC=2AD.
(1)求证:AE⊥平面ABCD;
(2)若∠ABE=60°,点F在EC上,且满足EF=2FC,求平面FAD与平面ADC的夹角的余弦值.
5.()如图,一个正三角形ABC'和一个平行四边形ABDE在同一个平面内,其中AB=8,BD=AD=43,AB,DE的中点分别为F,G.现沿直线AB将△ABC'翻折成△ABC,使二面角C-AB-D为120°,设CE的中点为H.
(1)求证:平面CDF∥平面AGH;
(2)求异面直线AB与CE所成角的正切值;
(3)求平面CDE与平面DEF的夹角的余弦值.
6.(2020重庆西南大学附中高二上期末,)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧面PAD为正三角形,AD=2,AB=3,平面PAD⊥平面ABCD,E为棱PB上一点(不与P、B重合),平面ADE交棱PC于点F.
(1)求证:AD∥EF;
(2)若平面BAC与平面ACE夹角的余弦值为33020,求点B到平面AEC的距离.
7.()如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,AB=3,BC=1,PA=2,E为PD的中点.
(1)求异面直线AC与PB间的距离;
(2)在侧面PAB内找一点N,使NE⊥平面PAC,并求出N到AB和AP的距离.
8.(2020河南河大附中高二上期末,)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.
(1)证明:平面ACD⊥平面ABC;
(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求平面DAE与平面AEC夹角的余弦值.深度解析
答案全解全析
解答题
1.解析　(1)证明:因为四边形ABCD是菱形,
所以AC⊥BD.
因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,
所以PA⊥BD.
又因为AC∩PA=A,所以BD⊥平面PAC.
(2)设AC∩BD=O.
因为∠BAD=60°,AB=2,
所以BO=1,AO=CO=3.
如图,以O为坐标原点,直线OB,OC分别为x轴,y轴,过点O平行于PA的直线为z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,
则P(0,-3,2),A(0,-3,0),B(1,0,0),C(0,3,0),
所以PB=(1,3,-2),AC=(0,23,0).
设PB与AC所成角为θ,
则cos θ=|PB·AC||PB||AC|=622×23=64,
即PB与AC所成角的余弦值为64.
2.解析　(1)证明:如图,连接EC1、BC1,
因为三棱柱A1B1C1-ABC为直三棱柱,
所以E为AC1的中点.
又因为F为AB的中点,所以EF∥BC1.
又EF⊄平面BCC1B1,BC1⊂平面BCC1B1,所以EF∥平面BCC1B1.
(2)以A1为原点,A1C1、A1B1、A1A所在直线分别为x、y、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系A1xyz,
则A(0,0,6),B1(0,4,0),E(2,0,3),F(0,2,6),
所以B1F=(0,-2,6),AE=(2,0,-3),A