人教版高三第一章专题强化练3　立体几何中的存在性与探究性问题 （Word版含解析）.docx

专题强化练3　立体几何中的存在性与探究性问题
解答题
1.(2020湖南长沙麓山国际学校高二阶段检测,)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.
(1)求证:AA1⊥平面ABC;
(2)求平面A1C1B与平面B1C1B夹角的余弦值;
(3)证明:在线段BC1上存在点D(不与B、C1重合),使得AD⊥A1B,并求BDBC1的值.
2.(2020湖南株洲二中、浏阳一中等湘东七校高三联考,)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠DAB=60°,∠ADP=90°,平面ADP⊥平面ABCD,F为棱PD的中点.
(1)在棱AB上是否存在一点E,使得AF∥平面PCE?并说明理由;
(2)当二面角D-FC-B的余弦值为14时,求直线PB与平面ABCD所成的角.
3.()如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,且AD=PD=1,平面PCD⊥平面ABCD,∠PDC=120°,E为线段PC的中点,F是线段AB上的一个动点.
(1)求证:平面DEF⊥平面PBC;
(2)设平面CDE与平面EDF的夹角为θ,试判断在线段AB上是否存在这样的点F,使得tan θ=23,若存在,求出AFFB的值;若不存在,请说明理由.
4.(2020重庆育才中学高二月考,)如图,三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2,AA1⊥平面ABC,D,E分别是AC,CC1的中点.
(1)求证:平面BAE⊥平面A1BD;
(2)求平面DBA1和平面BAA1夹角的余弦值;
(3)在线段B1B(含端点)上是否存在点M,使点M到平面A1BD的距离为255?请说明理由.
5.()如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=2,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD的中点.
(1)求证:PO⊥平面ABCD;
(2)求异面直线PB与CD所成角的余弦值;
(3)线段AD上是否存在点Q,使得它到平面PCD的距离为32?若存在,求出AQQD的值;若不存在,请说明理由.
6.(2020浙江慈溪中学等六校联考高二上期中,)如图所示的几何体中,PD垂直于梯形ABCD所在的平面,∠ADC=∠BAD=π2,F为PA的中点,PD=2,AB=AD=12CD=1,四边形PDCE为矩形,线段PC交DE于点N.
(1)求证:AC∥平面DEF;
(2)求平面PAB与平面PBC的夹角的正弦值;
(3)在线段EF上是否存在一点Q,使得BQ与平面BCP所成角的大小为π6?若存在,求出FQ的长;若不存在,请说明理由.
7.()如图甲所示,BO是梯形ABCD的高,∠BAD=45°,OB=BC=1,OD=3OA,将梯形ABCD沿OB折起得到如图乙所示的四棱锥P-OBCD,使得PC=3.
(1)在棱PD上是否存在一点F,使得CF∥平面POB?若存在,请求出PF的值;若不存在,请说明理由;
(2)点E是线段AB上一动点,当直线CE与DP所成的角最小时,求平面EBC与平面ECD的夹角的余弦值.
8.()如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=AA1=2,点P为棱B1C1的中点,点Q为线段A1B上的一动点.
(1)求证:当点Q为线段A1B的中点时,PQ⊥平面A1BC;
(2)设BQ=λBA1,试问:是否存在实数λ,使得平面A1PQ与平面B1PQ的夹角的余弦值为3010?若存在,求出这个实数λ;若不存在,请说明理由.
答案全解全析
解答题
1.解析　(1)证明:∵四边形AA1C1C是正方形,∴AA1⊥AC.
又∵平面ABC⊥平面AA1C1C,平面ABC∩平面AA1C1C=AC,∴AA1⊥平面ABC.
(2)由AC=4,BC=5,AB=3,得AC2+AB2=BC2,∴AB⊥AC.
建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(0,0,4),B(0,3,0),B1(0,3,4),C1(4,0,4),
∴BC1=(4,-3,4),BA1=(0,-3,4),BB1=(0,0,4).
设平面A1C1B的法向量为n1=(x1,y1,z1),平面B1C1B的法向量为n2