2020 2021学年高中数学第二章空间向量与立体几何课时作业含解析（6份打包）北师大版选修2 1.zip

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课时作业10　夹角的计算
时间：45分钟
——基础巩固类——
一、选择题
1．在如图所示的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为(　D　)
A．－ B．－
C． D．
解析：以点D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(0,1,2)，
∴＝(－2,2,0)，＝(0,1,2)，∴cos〈，〉＝＝，∴异面直线DE与AC所成角的余弦值为.
2．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0，－1,1)，则两平面的夹角为(　A　)
A．45° B．135°
C．45°或135° D．90°
解析：cos〈m，n〉＝＝＝－，即〈m，n〉＝135°，∴两平面的夹角为180°－135°＝45°.
3．若直线l的方向向量和平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α的夹角等于(　C　)
A．120° B．60°
C．30° D．以上均错
解析：∵直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，∴直线l与平面α
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所成的角为120°的补角60°的余角30°.
4．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为(　A　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：设l与α所成角为θ，∵cos〈m，n〉＝－，
又直线与平面所成角θ满足0°≤θ≤90°，∴sinθ＝|－|.∴θ＝30°.
5．已知正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于(　A　)
A. B.
C. D.
解析：设AB＝1，则AA1＝2，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如右图所示：
则D1(0,0,0)，C1(0,1,0)，B(1,1,2)，
C(0,1,2)，D(0,0,2)，＝(1,1,0)，＝(0,1，－2)，＝(0,1,0)．
设n＝(x，y，z)为平面BDC1的一个法向量，
则即
取n＝(－2,2,1)．
设CD与平面BDC1所成角为θ，
则sinθ＝||＝.故选A.
6．空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值是(　D　)
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A． B．
C．－ D．0
解析：如图．设＝a，＝b，＝c，则〈a，b〉＝〈a，c〉＝，|b|＝|c|.cos〈，〉＝
＝＝＝0，故选D.
7．如图所示，已知点P为菱形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则平面CBF与平面DBF夹角的正切值为(　D　)
A. B.
C. D.
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解析：设AC∩BD＝O，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，
∴B，F，C，D.
∴＝，且为平面BDF的一个法向量．
由＝，＝，
可得平面BCF的一个法向量为n＝(1，，)．
∴cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝.
∴tan〈n，〉＝.
8．P是二面角α­AB­β棱上的一点，分别在α，β平面内引射线PM，PN，如果∠BPM＝∠BPN＝45°，∠MPN＝60°，那么α与β的夹角大小为(　D　)
A．60° B．70°
C．80° D．90°
解析：如图，设PM＝a，PN＝b，作ME⊥AB，NF⊥AB，则因∠BPM＝∠BPN＝45°，故PE＝，PF＝.于是·＝(－)·(－)＝·－·－·＋·＝abcos60°－a·cos45°－·bcos45°＋·＝－－＋＝0.因为EM，FN分别是α，β内的与棱AB垂直的两条直线，所以与的夹角就是α与β的夹角．
二、填空题
9．若两个平面α，β的法向量分别是u＝(1,0,1)，v＝(－1,1,0)，则这两个平面间的夹角的度数是60°.
解析：cos〈u，v〉＝＝＝－.
∴两个平面α，β间的夹角为60°.
10．已知异面直线m，n的方向向量分别为a＝(2，－1,1)，b＝(1，λ，1)，若异面直线m，n所成角的余弦值为，则λ的值为.
解析：由|cos〈a，b〉|＝||
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＝＝，两边平方，化简得6λ＝7，解得λ＝.
11．如图，已知正三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长都相等，D是A1C1的中点，则直线AD与平面B1DC所成的