人教A版高中数学选修4-5全册试卷课时提升作业九3.1（Word含解析）.doc

课时提升作业 九
二维形式的柯西不等式
基础过关
一、选择题(每小题6分,共18分)
1.若3x2+2y2≤1,则3x+2y的取值范围是　(　　)
A.[0,5] B.[-5,0]
C.[-5,5] D.[-5,5]
【解析】选C.|3x+2y|≤(3x)2+(2y)2·(3)2+(2)2≤5,从而-5≤3x+2y≤5.
2.设a,b∈R,a2+b2=3,则3a-b的最大值为　(　　)
A.30 B.-30 C.30 D.-30
【解析】选C.3a-b=3a+(-1)·b≤32+(-1)2·a2+b2=10×3=30,当且仅当3b=-a,即a=33010,b=-3010时等号成立.
3.已知a,b,c,d,m,n都是正实数,P=ab+cd,
Q=am+cn·bm+dn,则P与Q的大小关系为　(　　)
A.P≤Q B.P<Q C.P≥Q D.P=Q
【解析】选A.
Q2=(am+cn)bm+dn
≥am·bm+cn·dn2=(ab+cd)2
=P2,
因为a,b,c,d,m,n都是正实数,所以P≤Q.
二、填空题(每小题6分,共12分)
4.设x,y∈R+,则(x+y)·3x+2y的最小值是________.
【解析】(x+y)3x+2y≥
x·3x+y·2y2=(3+2)2=5+26,
当且仅当x·2y=3x·y时,等号成立.
答案:5+26
5.已知x>0,y>0,且1x+1y=1,则2x+y的最小值为________.
【解析】2x+y=(2x+y)1x+1y
=[(2x)2+(y)2]1x2+1y2
≥2x·1x+y·1y2
=3+22,
当且仅当2x·1y=1x·y时,等号成立,
又1x+1y=1,则此时x=2+22,y=22+22.
答案:3+22
【一题多解】2x+y=(2x+y)1x+1y
=yx+2xy+3≥2yx·2xy+3
=22+3.
当且仅当yx=2xy,即2x2=y2时取等号.
又1x+1y=1,
则此时x=2+22,y=22+22.
答案:22+3
【拓展延伸】利用柯西不等式的关键
利用柯西不等式时关键问题是找出相应的两组数,当这两组数不太容易找时,需分析、增补(特别对数字1的增补:a=1·a)、变形等.
三、解答题(每小题10分,共30分)
6.已知m>0,n>0,m+n=p,
求证:1m+1n≥4p,指出等号成立的条件.
【解析】根据柯西不等式,得1m+1n(m+n)≥m·1m+n·1n2=4,
于是1m+1n≥4m+n=4p,
当m=n=p2时等号成立.
7.求函数f(x)=x2-8x+20-x2-6x+10的最大值.
【解题指南】由二维形式的三角不等式稍作变化,
即得(x1-x2)2+(y1-y2)2-x12+y12≤
x22+y22.
【解析】由于f(x)=x2-8x+20-x2-6x+10
=(x-4)2+22-(x-3)2+1
=[(x-3)-1]2+[1-(-1)]2-(x-3)2+12≤(-1)2+(-1)2=2.
8.已知函数f(x)=|x-4|.
(1)若f(x)≤2,求x的取值范围.
(2)在