人教A版高中数学选修4-5全册试卷课时提升作业三1.1.3（Word含解析）.doc

课时提升作业 三
三个正数的算术-几何平均不等式
基础过关
一、选择题(每小题6分,共18分)
1.函数y=x2·(1-5x)0≤x≤15的最大值为　(　　)
A.4675　　　　B.2657　　　　C.4645　　　　D.2675
【解析】选A.因为0≤x≤15,
所以1-5x≥0,
所以y=x2·(1-5x)=42552x·52x·(1-5x)≤
42552x+52x+(1-5x)33=4675.
当且仅当52x=1-5x,即x=215时取“=”.
2.设a,b,c都是正数,且a+2b+c=1,则1a+1b+1c的最小值为　(　　)
A.9 B.12
C.6-22 D.6+42
【解析】选D.因为a,b,c都是正数,且a+2b+c=1,所以1a+1b+1c=(a+2b+c)1a+1b+1c =4+2ba+ab+ca+ac+cb+2bc≥4+22+2+22=6+42,当且仅当a=c=2b时等号成立.
所以1a+1b+1c的最小值是6+42.
3.若a,b,c>0且a(a+b+c)+bc=4-23,则2a+b+c的最小值为　(　　)
A.3-1 B.3+1
C.23+2 D.23-2
【解析】选D.因为a(a+b+c)+bc=4-23
即(a+b)(a+c)=4-23,又a,b,c>0
所以(a+b)(a+c)≤(a+b)+(a+c)22=2a+b+c22
所以2a+b+c≥23-2.
二、填空题(每小题6分,共12分)
4.已知a,b,c∈R+,且满足a+2b+3c=1,则1a+12b+13c的最小值为________.
【解析】因为a,b,c∈R+,且满足a+2b+3c=1,
所以1a+12b+13c=(a+2b+3c)·1a+12b+13c≥33a·2b·3c·331a·12b·13c=9,当且仅当a=2b=3c=13时取等号.因此1a+12b+13c的最小值为9.
答案:9
5.已知x,y,z∈R+,且x+3y+4z=6,则x2y3z的最大值为________.
【解析】因为x,y,z∈R+,且x+3y+4z=6,
所以6=x+3y+4z=x2+x2+y+y+y+4z
≥6·6x2y3z,
所以x2y3z≤1.
答案:1
三、解答题(每小题10分,共30分)
6.若a,b,c>0,
求证:a2+b2+c2+1a+1b+1c2≥63.
【证明】因为a,b,c>0,
所以a2+b2+c2≥3·3a2b2c2　①
又1a+1b+1c≥3·3(abc) -1,
所以1a+1b+1c2≥9·3(abc)-2　②
a2+b2+c2+1a+1b+1c2
≥3·3a2b2c2+9·3(abc)-2
≥2·3×9=63,当且仅当a=b=c时等号成立.
7.设正实数x,y,z满足x+2y+z=1,求1x+y+9(x+y)y+z的最小值.
【解析】因为正实数x,y,z满足x+2y+z=1,
所以1x+y+9(x+y)y+z=x+y+y+zx+y+9(x+y)y+z=1+y+zx+y+9(x+y)y+z≥1+2y+zx+y×9(x+y)y+z=7,
当且仅当y+zx+y=9(x+y)y+z