人教A版高中数学选修4-5全册试卷课时提升作业十3.2（Word含解析）.doc

课时提升作业 十
一般形式的柯西不等式
基础过关
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.已知a,b,c,x,y,z为正数,且a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,
ax+by+cz=20,则a+b+cx+y+z=　(　　)
A.14　　　B.13　　　C.12　　　D.34
【解析】选C.由已知得
(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=(ax+by+cz)2,
结合柯西不等式,知ax=by=cz=12,所以a+b+cx+y+z=12.
2.已知x,y,z是非负实数,若9x2+12y2+5z2=9,则函数u=3x+6y+5z的最大值是　(　　)
A.9 B.10 C.14 D.15
【解析】选A.因为(3x+6y+5z)2≤[12+(3)2+(5)2]·[(3x)2+(23y)2+(5z)2]
=9(9x2+12y2+5z2)=81,所以3x+6y+5z≤9.当且仅当x=13,y=12,z=1时,等号成立.
故u=3x+6y+5z的最大值为9.
3.已知a2+b2+c2=1,若a+b+2c≤|x+1|对任意实数a,b,c恒成立,则实数x的取值范围是　(　　)
A.x≥1或x≤-3 B.-3≤x≤1
C.x≥-1或x≤3 D.-1≤x≤3
【解题指南】根据题目中的a2+b2+c2=1和a+b+2c≤|x+1|的结构形式,可以联想使用柯西不等式.
【解析】选A.由柯西不等式得:(a2+b2+c2)(1+1+2)≥(a+b+2c)2,
所以a+b+2c≤2,又因为a+b+2c≤|x+1|,
所以|x+1|≥2,解之得x≥1或x≤-3.
二、填空题(每小题4分,共8分)
4.已知x,y,z∈R,且2x+2y+z+8=0,则(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2的最小值为______.
【解析】因为[(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2](4+4+1)
≥(2x+2y+z-1)2=81,
所以(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2≥9.
答案:9
5.设a,b,c为正数,则(a+b+c)4a+9b+36c的最小值是________.
【解析】(a+b+c)4a+9b+36c=
[(a)2+(b)2+(c)2]2a2+3b2+6c2≥
a·2a+b·3b+c·6c2
=(2+3+6)2=121.
当且仅当a2=b3=c6时等号成立.
答案:121
三、解答题
6.(10分)已知定义在R上的函数f(x)=x+1+x-2的最小值为a,又正数p,q,r满足p+q+r=a.求证p
2+q2+r2≥3.
【证明】因为f(x)=x+1+x-2≥(x+1)-(x-2)=3,
即函数f(x)=x+1+x-2的最小值a=3.
所以p+q+r=3.
由柯西不等式得
(p2+q2+r2)(1+1+1)≥(p+q+r)2=9,
于是p2+q2+r2≥3.
能力提升
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.已知x,y是实数,则x2+y2+(1-x-y)2的最小值是　(　　)
A.16　　　　　B.13　　　　　C.6　　　　　D.3
【解析】选B.由柯西不等式,得
(12+12+12)[x2+y2+(