人教A版高中数学选修4-5全册试卷课时提升作业十三4.2（Word含解析）.doc

课时提升作业十三
用数学归纳法证明不等式举例
基础过关
一、选择题(每小题6分,共18分)
1.用数学归纳法证明不等式1n+1+1n+2+…+12n<1314(n≥2,n∈N+)的过程中,由n=k递推到n=k+1时不等式左边　(　　)
A.增加了一项12(k+1)
B.增加了两项12k+1和12k+2
C.增加了B中两项但减少了一项1k+1
D.以上各种情况均不对
【解析】选C.因为n=k时,左边=1k+1+1k+2+…+12k,n=k+1时,左边=1k+2+1k+3+…+12k+12k+1+12k+2,
所以增加了两项12k+1和12k+2,少了一项1k+1.
2.(2016·淮南高二检测)用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n≥n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取　(　　)
A.2　　　　　B.3　　　　　C.5　　　　　D.6
【解析】选C.当n≤4时,2n<n2+1;
当n≥5时,2n>n2+1.于是n0应取5.
【变式训练】用数学归纳法证明2n≥n2(n≥5,n∈N+)成立时第二步归纳假设的正确写法是　(　　)
A.假设n=k时命题成立
B.假设n=k(k∈N+)时命题成立
C.假设n=k(k≥5)时命题成立
D.假设n=k(k>5)时命题成立
【解析】选C.由题意知n≥5,n∈N+,
所以应假设n=k(k≥5)时命题成立.
3.证明1+12+13+…+12n-1>n2(n∈N*),假设当n=k时成立,当n=k+1时,左端增加的项数为　(　　)
A.1项 B.k-1项
C.k项 D.2k项
【解析】选D.当n=k时,不等式左端为1+12+13+…+12k-1,当n=k+1时,不等式左端为1+12+13+…+12k-1+12k+…+12k+1-1,左端增加了12k+…+12k+1-1,共2k项.
二、填空题(每小题6分,共12分)
4.用数学归纳法证明“2n+1≥n2+n+2(n∈N+)”时,第一步的验证为____________.
【解析】当n=1时,21+1≥12+1+2,即4≥4成立.
答案:21+1≥12+1+2
5.(2016·南昌高二检测)已知1+2×3+3×32+4×33+…+n·3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N*都成立,则a=______,b=______,c=________.
【解析】当n=1时,3a-3b+c=1,
当n=2时,18a-9b+c=7,
当n=3时,81a-27b+c=34,
解得,a=12,b=c=14.
答案:12　14　14
三、解答题(每小题10分,共30分)
6.证明:1+122+132+…+1n2≥3n2n+1(n∈N*).
【证明】(1)当n=1时,不等式为1≥1,显然成立.
(2)假设当n=k时不等式成立,即1+122+132+…+1k2≥3k2k+1.
那么,当n=k+1时,1+122+132+…+1k2+1(k+1)2≥3k2k+1+1(k+1)2,而3k2k+1+1(k+1)2-3k+32k+3
=3k(k+1)2(2k+3)+(2k+1)(2k+3)-(3k+3)(2k+1)(k+1)2(2k+1)(k+1)