人教版初中数学题型08 与圆有关的证明与计算题（解析版）.docx

备战2020年中考数学十大题型专练卷
题型08 与圆有关的证明与计算题
一、单选题
1．如图，是的弦，交于点，点是上一点，，则的度数为（ ）．
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】D
【分析】由垂径定理、等腰三角形的性质和平行线的性质证出∠OAC=∠OCA=∠AOC，得出△OAC是等腰三角形，得出∠BOC=∠AOC=60°即可．
【详解】解：如图，∵，
∴．
∵是的弦，交于点，
∴．
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查垂径定理，解题关键证明.
2．如图，为的切线，切点为，连接，与交于点，延长与交于点，连接，若，则的度数为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由切线性质得到，再由等腰三角形性质得到，然后用三角形外角性质得出
【详解】切线性质得到
故选D
【点睛】本题主要考查圆的切线性质、三角形的外角性质等，掌握基础定义是解题关键
3．如图，是的内接三角形，，过点的圆的切线交于点，则的度数为（ ）
A．32° B．31° C．29° D．61°
【答案】A
【分析】根据题意连接OC，为直角三角形，再根据BC的优弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，可计算的的度，再根据直角三角形可得的度数.
【详解】根据题意连接OC.因为
所以可得BC所对的大圆心角为
因为BD为直径，所以可得
由于为直角三角形
所以可得
故选A.
【点睛】本题主要考查圆心角的计算，关键在于圆心角等于同弧所对圆周角的2倍.
4．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，，点是的中点，且，则这段弯路所在圆的半径为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，可以推出AD＝BD＝20，若设半径为r，则OD＝r﹣10，OB＝r，结合勾股定理可推出半径r的值．
【详解】解：，
，
在中，，
设半径为得：，
解得：，
这段弯路的半径为
故选：A．
【点睛】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OB的长度．
5．如图，点为扇形的半径上一点，将沿折叠，点恰好落在上的点处，且（表示的长），若将此扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接OD，求出∠AOB，利用弧长公式和圆的周长公式求解即可.
【详解】解：连接交AC于．
由折叠的知识可得：，，
，
，
且，
设圆锥的底面半径为，母线长为，
，
．
故选：．
【点睛】本题考查的是扇形，熟练掌握圆锥的弧长公式和圆的周长公式是解题的关键.
6．如图，边长为的等边的内切圆的半径为( )
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】连接AO、CO，CO的延长线交AB于H，如图，利用内心的性质得CH平分∠BCA，AO平分∠BAC，再根据等边三角形的性质得∠CAB=60°，CH⊥AB，则∠OAH=30°，AH=BH= AB=3，然后利用正切的定义计算出OH即可．
【详解】设的内心为O，连接AO、BO，CO的延长线交AB于H，如图，
∵为等边三角形，
∴CH平分，AO平分，∵为等边三角形，
∴，，
∴，，
在中，∵，
∴，
即内切圆的半径为1．
故选A．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等边三角形的性质．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=2，以AB的中点为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为 H，则有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，利用∠A的正切值求出∠A=30°，继而可求得OH、AH长，根据圆周角定理可求得∠BOC =60°，然后根据S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD进行计算即可.
【详解】连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为 H，
则有AD=2AH，∠AHO=90°，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=2，tan∠A=，
∴∠A=30°，
∴OH=OA=，AH=AO•cos∠A=，∠BOC=2∠A=60°，
∴AD=2AH=，
∴S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD==，
故选A