人教版初中数学专题44 构建方程的思想（解析版）.docx

专题44 构建方程的思想
方程思想就是从分析问题的数量关系入手,适当设定未知数,运用定义、公式、性质、定理及条件,把所研究的问题中已知量和未知量之间的数量关系转化为方程,从而使问题得到解决．方程思想在数学解题中所占比重较大，综合知识强、题型广、应用技巧灵活．
1.利用勾股定理建立一元二次方程。
2.利用三角形三边关系可建立不等式。
3.利用圆的内接四边形内角和等于360°建立一元一次方程。
4.利用绝对值、根式建立方程组。
5.其它许多情况建立的方程、函数关系式等。
【例题1】（2020•内江）如图，矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，点C落在BD上的点N处，连结EF．已知AB＝3，BC＝4，则EF的长为（　　）
A．3 B．5 C．5136 D．13
【答案】C
【解析】求出BD＝5，AE＝EM，∠A＝∠BME＝90°，证明△EDM∽△BDA，由相似三角形的性质得出EDBD=EMAB，设DE＝x，则AE＝EM＝4﹣x，得出x5=4-x3，解得x=52，同理△DNF∽△DCB，得出DFBD=NFBC，设DF＝y，则CF＝NF＝3﹣y，则y5=3-y4，解得
y=53．由勾股定理即可求出EF的长．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠A＝∠C＝∠EDF＝90°，
∴BD=AB2+AD2=32+42=5，
∵将矩形ABCD沿BE所在直线折叠，使点A落在BD上的点M处，
∴AE＝EM，∠A＝∠BME＝90°，
∴∠EMD＝90°，
∵∠EDM＝∠ADB，
∴△EDM∽△BDA，
∴EDBD=EMAB，
设DE＝x，则AE＝EM＝4﹣x，
∴x5=4-x3，
解得x=52，
∴DE=52，
同理△DNF∽△DCB，
∴DFBD=NFBC，
设DF＝y，则CF＝NF＝3﹣y，
∴y5=3-y4，
解得y=53．
∴DF=53．
∴EF=DE2+DF2=(52)2+(53)2=5136．
【对点练****若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（　　）
A．6 B．12 C．16 D．18
【答案】B．
【解析】根据多边形的内角和，可得答案．
设多边形为n边形，由题意，得
（n﹣2）180°=150n，
解得n=12
【点拨】本题考查了多边形的内角与外角，利用内角和公式是解题关键．
【例题2】（2020•天水）如图，在边长为6的正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．若DF＝3，则BE的长为　　．
【答案】2
【解析】根据旋转的性质可知，△ADF≌△ABG，然后即可得到DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，然后根据题目中的条件，可以得到△EAG≌△EAF，再根据DF＝3，AB＝6和勾股定理，可以得到DE的长，本题得以解决．
解：由题意可得，
△ADF≌△ABG，
∴DF＝BG，∠DAF＝∠BAG，
∵∠DAB＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠EAB＝45°，
∴∠BAG+∠EAB＝45°，
∴∠EAF＝∠EAG，
在△EAG和△EAF中，
AG=AF∠EAG=∠EAFAE=AE，
∴△EAG≌△EAF（SAS），
∴GE＝FE，
设BE＝x，则GE＝BG+BE＝3+x，CE＝6﹣x，
∴EF＝3+x，
∵CD＝6，DF＝3，
∴CF＝3，
∵∠C＝90°，
∴（6﹣x）2+32＝（3+x）2，
解得，x＝2，
即CE＝2
【对点练****如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，则∠D的度数是　 　°．
【答案】120．
【解析】∵∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，
∴设∠A=4x，则∠B=3x，∠C=5x．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，即4x+5x=180°，解得x=20°，
∴∠B=3x=60°，
∴∠D=180°﹣60°=120°．
【例题3】（2020•常德）如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，94）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知直线l过点A，M（32，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；
（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条