专题38 几何最值之胡不归问题【人教版】-【中考高分导航】备战2022年中考数学考点总复习（全国通用）（解析版）.docx

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专题38 几何最值之胡不归问题

方法技巧
问题分析
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？
看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.
模型展示：
如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．
，记，
即求BC+kAC的最小值．
构造射线AD使得sin∠DAN=k，CH/AC=k，CH=kAC．
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将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小．
最值解法：在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．
题型精讲
【例1】如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则的最小值等于________．
【解析】已知∠A=60°，且sin60°=，故延长AD，作PH⊥AD延长线于H点，
即可得，∴=PB+PH．
当B、P、H三点共线时，可得PB+PH取到最小值，即BH的长，解直角△ABH即可得BH长．
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【例2】（2021·重庆中考真题）在等边中，， ，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF．

图1 图2 图3
（1）将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连接FG．
①如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，求线段DG的长；
②如图2，点E不与点A，B重合，GF的延长线交BC边于点H，连接EH，求证：；
（2）如图3，当点E为AB中点时，点M为BE中点，点N在边AC上，且，点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当最小时，直接写出的面积．
【答案】（1）①；②见解析；（2）
【分析】
（1）①连接AG，根据题意得出△ABC和△GEF均为等边三角形，从而可证明△GBC≌△GAC，进一步求出AD=3，AG=BG=，然后利用勾股定理求解即可；②以点F为圆心，FB的长为半径画弧，与BH的延长线交于点K，连接KF，先证明出△BFK是顶角为120°的等腰三角形，然后推出△FEB≌△FHK，从而得出结论即可；
（2）利用“胡不归”模型构造出含有30°角的直角三角形，构造出，当N、P、J三点共线的时候满足条件，然后利用相似三角形的判定与性质分别计算出PN与DN的长度，即可得出结论．
【详解】
（1）解：①如图所示，连接AG，
由题意可知，△ABC和△GEF均为等边三角形，
∴∠GFB=60°，
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∵BD⊥AC，
∴∠FBC=30°，
∴∠FCB=30°，∠ACG=30°，
∵AC=BC，GC=GC，
∴△GBC≌△GAC（SAS），
∴∠GAC=∠GBC=90°，AG=BG，
∵AB=6，
∴AD=3，AG=BG=，
∴在Rt△ADG中，，
∴；
②证明：以点F为圆心，FB的长为半径画弧，与BH的延长线交于点K，连接KF，如图，
∵△ABC和△GEF均为等边三角形，
∴∠ABC=60°，∠EFH=120°，
∴∠BEF+∠BHF=180°，
∵∠BHF+∠KHF=180°，
∴∠BEF=∠KHF，
由辅助线作法可知，FB=FK，则∠K=∠FBE，
∵BD是等边△ABC的高，
∴∠K=∠DBC=∠DBA=30°，
∴∠BFK=120°，
在△FEB与△FHK中，
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∴△FEB≌△FHK（AAS），
∴BE=KH，
∴BE+BH=KH+BH=BK，
∵FB=FK，∠BFK=120°，
∴BK=BF，
即：；
（2）如图1所示，以MP为边构造∠PMJ=30°，∠PJM=90°，则PJ=MP，
∴求的最小值，即为求的最小值，
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