第09讲 二次函数（压轴题组）（解析版）-【学霸计划】2022年中考数学大复习（人教版）.docx

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第09讲 二次函数（压轴题组）
1．（2021·福建晋安·九年级期中）如图1，抛物线，顶点为P（1，4），与x轴的负半轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点N是抛物线上一点，若∠ABN＝45°，求点N的坐标；
（3）如图2，将原抛物线沿对称轴向下平移m个单位长度后得到新的抛物线，C，D是新抛物线在第一象限内互不重合的两点，CE⊥x轴，DF⊥x轴，垂足分别为E，F，若存在这样的点C，D，满足△CEO≌△OFD，求m的取值范围．
【答案】（1）y＝－x2＋2x＋3；（2）N(4，－5)；（3）．
【分析】（1）∵抛物线顶点为P（1，4），
∴
∵a≠0，
∴a＝－1，b＝2，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3．
（2）如图，过点A作GA⊥AB交BN于点G，过点G作GH⊥x轴，垂足为点H，
∵GA⊥AB，GH⊥x轴，
∴∠BAG＝90°，∠GHA＝90°，
∵∠ABN＝45°，
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∴△ABG是等腰直角三角形，
∴AB＝AG，
∵∠BAO＋∠ABO＝∠BAO＋∠HAG＝90°，
∴∠ABO＝∠HAG，
∴在△ABO和△GAH中，，
∴△ABO≌△GAH(AAS)，
∴GH＝AO，AH＝BO
令y＝0时，即－x2＋2x＋3＝0，
解得：，，
∴A（－1，0），
当x=0时，y=3，
∴B(0，3)，
∴GH＝AO＝1，AH＝BO＝3，
∴G(2，－1)，
设直线BN的解析式为y＝kx＋n，图象经过B（0，3），G（2，－1），
∴，
解得：，
∴直线BN的解析式为，
联立抛物线与直线BN的解析式得：，
解得：或
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∴N(4，－5)．
（3）∵将原抛物线沿对称轴向下平移m个单位长度后得到新的抛物线，
∴设新抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3－m，
∵△CEO≌△DOF，
∴OE＝DF，OF＝CE，
∴设点C（p，q），则点D的坐标为（q，p），
将点C，D的坐标代入抛物线表达式得
由①－②并整理得：(p－q)(p＋q－3)＝0，
由题意得：p≠q，
∴p＋q－3＝0
即q＝3－p，
∵p≠q，
∴，
∵p＞0，q＞0，
∴q＝3－p＞0，
∴0＜p＜3且，
由①得：，得
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∵－1＜0，
∴该抛物线开口向下，
当时，m最大值为，
当p＝3或0时，m最小值为0，
∵0＜p＜3且，
∴．
2．（2021·天津南开·九年级期中）如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A（2，0），B（4，0），D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，若H为射线DA与y轴的交点，N为射线AB上一点，设N点的横坐标为t，△DHN的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）如图3，在（2）的条件下，若N与B重合，G为线段DH上一点，过G作y轴的平行线交抛物线于F，连接AF，若NG=NQ，NG⊥NQ，且∠AGN＝∠FAG，求F点的坐标．
【答案】（1）y＝−x2＋6x−8；（2）S＝x−3；（3）F（1，-3）
【分析】解：（1）抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A（2，0），B（4，0），
代入得，
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解得，
∴抛物线解析式为y＝−x2＋6x−8；
（2）如图1中，连接OD．
∵y＝−x2＋6x−8=−（x-3）2＋1
∴顶点D坐标（3，1），
∵A（2，0）
设直线AD的解析式为y=kx+b（k≠0）
把A（2，0），（3，1）代入得
解得
∴直线AD的解析式为y=x-2，
令x=0，解得y=-2
∴H（0，−2）．
∵设N点的横坐标为t，
∴△DHN的面积S＝S△OND＋S△ONH−S△OHD＝×t×1＋×t×2−×2×3＝t−3．
∴S＝x−3；
（3）如图2中，延长FG交OB于M．
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∵H（0，−2），A（2，0）
∴OH＝OA=2，
∴∠OAH＝∠OHA＝45°，
∵FMOH，
∴∠MGA＝∠OHA＝∠MAG＝45°，
∴MG＝MA，
∵∠FAG＝∠NGA，
∴∠MAF＝∠MGN，
在△MAF和△MGN中，
∵，
∴△MAF≌△MGB，
∴FM＝BM．设M（m，0），
∴−（−m2＋6m−8）＝4−m，
解得m＝1或4（舍弃），
∴M（1，0）
∴BM=4-1=3
∴FM＝3，