人教2023年高考数学二轮复习(全国版理) 第1部分 专题突破 专题4 微重点10　球的切接问题.docx

微重点10　球的切接问题
空间几何体的外接球、内切球是高中数学的重点、难点，也是高考命题的热点，一般是通过对几何体的割补或寻找几何体外接球的球心求解外接球问题，利用等体积法求内切球半径等，一般出现在压轴小题位置．
考点一　空间几何体的外接球
例1　(1)(2022·保定模拟)已知三棱锥P－ABC，其中PA⊥平面ABC，∠BAC＝120°，PA＝AB＝AC＝2，则该三棱锥外接球的表面积为(　　)
A．12π B．16π C．20π D．24π
答案　C
解析　∵PA⊥平面ABC，所以把三棱锥P－ABC补成直三棱柱PB′C′－ABC，
如图所示，
设E，F为上、下底面三角形的外心，
则EF的中点O为直三棱柱PB′C′－ABC的球心，在△ABC中，由余弦定理知BC＝2，
∵2FA＝＝＝4，
∴FA＝2，
∵FA＝2，又OF＝PA＝1，
设该三棱锥外接球半径为R，
∴R＝OA＝＝，
∴表面积S＝4πR2＝20π.
(2)(2022·宝鸡模拟)两个边长为2的正三角形△ABC与△ABD，沿公共边AB折叠成60°的二面角，若点A，B，C，D在同一球O的球面上，则球O的表面积为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　如图，设△ABC与△ABD的中心分别为N，M，连接DM，CN并延长交AB于E，连接
OE，OB，OM，ON.
根据外接球的性质有OM⊥平面ABD，ON⊥平面ABC，
又二面角D－AB－C的大小为60°，
故∠DEC＝60°，
又△ABC与△ABD的边长均为2，
故DE＝CE＝，
故EM＝EN＝ED＝.
易得Rt△MEO≌Rt△NEO，
故∠MEO＝∠NEO＝30°，
故OE＝＝，
又EB＝1，
故球O的半径OB＝＝，
故球O的表面积为S＝4π2＝.
规律方法　求解空间几何体的外接球问题的策略
(1)定球心：球心到接点的距离相等且为半径；
(2)作截面：选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系)，达到空间问题平面化的目的；
(3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解．
跟踪演练1　(1)已知四面体ABCD中，AB＝CD＝2，AC＝BD＝，AD＝BC＝，则四面体ABCD的外接球的表面积为________．
答案　45π
解析　设四面体ABCD的外接球的半径为R，将四面体ABCD置于长、宽、高分别为a，b，c的长方体中，故
故R＝＝，
故四面体ABCD的外接球的表面积为4πR2＝45π.
(2)(2022·临川模拟)已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为边长是4的正方形，侧面PAB⊥底面ABCD，且△PAB为等边三角形，则该四棱锥P－ABCD的外接球的表面积为(　　)
A. B. C．64π D．16π
答案　A
解析　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，取侧面△PAB和底面正方形ABCD的外接圆的圆心分别为O1，O2，分别过O1，O2作两个平面的垂线交于点O，
则由外接球的性质知，点O即为该球的球心，
取线段AB的中点E，连接O1E，O2E，O2D，OD，
则四边形O1EO2O为矩形，
在等边△PAB中，可得PE＝2，
则O1E＝，即OO2＝，
在正方形ABCD中，因为AB＝4，
可得O2D＝2，
在Rt△OO2D中，可得OD2＝OO＋O2D2，
即R2＝OO＋O2D2＝，
所以四棱锥P－ABCD的外接球的表面积为
S＝4πR2＝.
考点二　空间几何体的内切球
例2　(1)(2022·酒泉模拟)在三棱锥A－BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB＝CD＝4，BC＝3，则该三棱锥内切球的体积为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　由AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，得AB⊥CD.
又BC⊥CD，且AB，BC⊂平面ABC，AB∩BC＝B，
所以CD⊥平面ABC，
又AC⊂平面ABC，
所以CD⊥AC.
由AB＝CD＝4，BC＝3，得AC＝BD＝5，
所以三棱锥A－BCD的表面积
S＝2××3×4＋2××4×5＝32，
三棱锥A－BCD的体积V＝××3×4×4＝8.
设三棱锥内切球球心为O，半径为r，
由V＝VO－ABC＋VO－ABD＋VO－ACD＋VO－BCD＝Sr，
得r＝＝，
所以该三棱锥内切球的体积V球＝πr3＝π×3＝.
(2)(2022·湖北多校联考)已知在△ABC中，AB＝4，BC＝3，AC＝5，以AC为轴旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析