人教第11章 选考部分 第1节　坐标系与参数方程 第二课时　参数方程.doc

第二课时　参数方程
考试要求　1.了解参数方程，了解参数的意义；2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.
1.曲线的参数方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x，y)都是某个变数t的函数，并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数.
2.参数方程与普通方程的互化
通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致.
3.常见曲线的参数方程和普通方程
点的轨迹
普通方程
参数方程
直线
y－y0＝tan α(x－x0)
(t为参数)
圆
x2＋y2＝r2
(θ为参数)
椭圆
＋＝1(a＞b＞0)
(φ为参数)
1.将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围.
2.直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)参数方程中的x，y都是参数t的函数.(　　)
(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数).参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段的数量.(　　)
(3)方程(θ为参数)表示以点(0，1)为圆心，以2为半径的圆.(　　)
(4)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为.(　　)
答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
解析　(4)当t＝时，点M的坐标为(2cos ，4sin )，即M(1，2)，∴OM的斜率k＝2.
2.(2019·北京卷)已知直线l的参数方程为 (t为参数)，则点(1，0)到直线l的距离是(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　由题意可知直线l的普通方程为4x－3y＋2＝0，则点(1，0)到直线l的距离d＝＝.故选D.
3.在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，则常数a的值是________.
答案　3
解析　直线l的普通方程为x－y－a＝0，椭圆C的普通方程为＋＝1，
所以椭圆C的右顶点坐标为(3，0)，
若直线l过点(3，0)，则3－a＝0，所以a＝3.
4.(2019·天津卷)设直线ax－y＋2＝0和圆(θ为参数)相切，则实数a＝________.
答案　
解析　圆的参数方程消去θ，得
(x－2)2＋(y－1)2＝4.
∴圆心(2，1)，半径r＝2.
又直线ax－y＋2＝0与圆相切.
∴d＝＝2，解得a＝.
5.已知直线l的参数方程是(t为参数)，若l与圆x2＋y2－4x＋3＝0交于A，B两点，且|AB|＝，则直线l的斜率为________.
答案　±
解析　由(t为参数)，
得y＝xtan α，
设k＝tan α，得直线的方程为y＝kx，
由x2＋y2－4x＋3＝0，得(x－2)2＋y2＝1，圆心为(2，0)，半径为1，
∴圆心到直线y＝kx的距离为
＝＝，
得k＝±.
6.(易错题)设P(x，y)是曲线C：(θ为参数，θ∈[0，2π))上任意一点，则的最大值为________.
答案　
解析　由曲线C：(θ为参数)，得(x＋2)2＋y2＝1，表示圆心为(－2，0)，半径为1的圆，表示的是圆上的点和原点连线的斜率，
设＝k，则原问题转化为y＝kx和圆有交点的问题，
即圆心到直线的距离d≤r，所以≤1，解得－≤k≤，
所以的最大值为.
　考点一　参数方程与普通方程的互化
1.下列参数方程与方程y2＝x表示同一曲线的是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　对于A，消去t后所得方程为x2＝y，不符合y2＝x；
对于B，消去t后所得方程为y2＝x，但要求0≤x≤1，也不符合y2＝x；
对于C，消去t得方程为y2＝|x|，且要求y≥0，x∈R，也不符合y2＝x；
对于D，x＝＝＝tan2t＝y2，符合y2＝x.故选D.
2.把下列参数方程化为普通方程.
(1)(t为参数)；
(2)(θ为参数，θ∈[0，2π)).
解　(1)由已知得t＝2x－2