人教2023年高考数学二轮复习（全国版文） 第1部分 专题突破 专题1 微重点1　函数的新定义问题.docx

微重点1　函数的新定义问题
函数的“新定义”问题，是近几年高考试题或模拟试题中出现的一种函数创新试题，一般是以“新定义型”函数的定义或性质为载体，考查函数的定义、性质、运算等，考查学生的创新能力和运用数学知识综合解决问题的能力．
考点一　特征函数
考向1　高斯函数
例1　(2022·长治模拟)已知函数f(x)＝x－[x]([x]表示不超过x的最大整数，例如[1.5]＝1，
[－0.5]＝－1)，则以下关于f(x)的性质说法错误的是(　　)
A．f(x)是R上的增函数
B．f(x)是周期函数
C．f(x)是非奇非偶函数
D．f(x)的值域是[0,1)
答案　A
解析　对于A，f(1)＝f(2)＝0，故A错误；
对于B，因为f(x＋1)＝x＋1－[x＋1]＝x－[x]＝f(x)，所以f(x)是以1为周期的周期函数，故B正确；
对于C，f(1.2)＝1.2－1＝0.2，f(－1.2)＝－1.2－(－2)＝0.8，f(1.2)≠±f(－1.2)，所以f(x)是非奇非偶函数，故C正确；
对于D，根据[x]的定义可得x－1<[x]≤x，则0≤x－<1，即f(x)的值域是[0,1)，故D正确．
考向2　狄利克雷函数
例2　德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，他是解析数论的创始人之一，以其名字命名的函数f(x)＝称为狄利克雷函数，则关于函数f(x)，下列说法正确的是(　　)
A．f(x)的定义域为{0,1}
B．f(x)的值域为[0,1]
C．∃x∈R，f(f(x))＝0
D．任意一个非零有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意x∈R恒成立
答案　D
解析　因为f(x)＝
所以函数的定义域为R，值域为{0,1}，故A，B错误；
因为f(x)＝0或f(x)＝1，且0与1均为有理数，
所以f(f(x))＝f(0)＝1或f(f(x))＝f(1)＝1，故C错误；
对于任意一个非零有理数T，若x为有理数，
则x＋T也为有理数，则f(x＋T)＝f(x)＝1；
若x为无理数，则x＋T也为无理数，则f(x＋T)＝f(x)＝0，
综上可得，任意一个非零有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意x∈R恒成立，故D正确．
考向3　黎曼函数
例3　(2022·新乡模拟)黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在[0,1]上，其解析式如下：R(x)＝
若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x都有f(2＋x)＋f(2－x)＝0，当x∈[0,1]时，f(x)＝R(x)，则f(2 022)＋f ＝________.
答案　－
解析　∵f(2＋x)＋f(2－x)＝0，
∴f(2＋x)＝－f(2－x)．
又f(x)是奇函数，
∴f(x＋2)＝f(x－2)，∴f(4＋x)＝f(x)，
∴f(x)的一个周期为4.
∵f(2＋x)＋f(2－x)＝0，
∴令x＝0，可得f(2)＝0，
∴f(2 022)＝f(4×505＋2)＝f(2)＝0.
f ＝－f ＝－f 
＝－f ＝－R＝－，
∴f(2 022)＋f ＝－.
考向4　欧拉函数
例4　(2022·重庆八中调研)若正整数m，n的公约数只有1，则称m，n互质．对于正整数n，φ(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数，例如：φ(3)＝2，φ(7)＝6，φ(9)＝6，函数φ(n)以其首位研究者欧拉命名，称为欧拉函数，则下列说法正确的是(　　)
A．φ(5)＝φ(10)
B．φ(2n－1)＝1
C．φ(32)＝15
D．φ(2n＋2)>φ(2n)，n∈N*
答案　A
解析　因为φ(5)＝φ(10)＝4，故A正确；
因为当n＝4时，φ(15)≠1，故B不正确；
因为小于或等于32的正整数中与32互质的实数为1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31，共有16个，
所以φ(32)＝16，故C不正确；
因为当n＝2时，φ(4)＝φ(6)＝2，故D不正确．
规律方法　以某些特殊函数为背景考查函数的基本概念及应用时，关键是理解函数的实质，与熟悉的函数类比，通过赋特殊值或数形结合解决．
跟踪演练1　(1)(2022·东北师大附中模拟)已知符号函数sgn x＝偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则(　　)
A．sgn[f(x)]>0
B．f ＝1
C．sgn[f(2k＋1)]＝1(k∈Z)
D．sgn[f(k)]＝|sgn k|(k∈Z)
答案　C
解析　对于A选项，
sgn[f(0)]＝sgn 0＝0，A错；
对于B选项，
f ＝f ＝f ＝，B错；
对