人教版微专题 等差数列的性质 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练.docx

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微专题：等差数列的性质
【考点梳理】
1. 等差数列的性质
(1)与项有关的性质
①等差数列{an}中，若公差为d，则an＝am＋(n－m)d，当n≠m时，d＝.
②在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. 特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.
③若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{λan＋b}(λ，b为常数)是公差为λd的等差数列.
④若数列{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，则数列{λ1an＋λ2bn}(λ1，λ2为常数)也是等差数列，且公差为λ1d1＋λ2d2.
⑤数列{an}是公差为d的等差数列，则从数列中抽出项ak，ak＋m，ak＋2m，…，组成的数列仍是等差数列，公差为md.
注：利用等差数列项的性质解决基本量的运算体现了整体求值思想，应用时常将an＋am＝2ap(m＋n＝2p，m，n，p∈N*)与am＋an＝ap＋aq(m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N*)相结合，可减少运算量.
(2)与和有关的性质
①等差数列中依次k项之和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列.
②记S偶为所有偶数项的和，S奇为所有奇数项的和. 若等差数列的项数为2n(n∈N*)，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝(S奇≠0)；若等差数列的项数为2n－1(n∈N*)，则S2n－1＝(2n－1)an(an是数列的中间项)，S奇－S偶＝an，＝(S奇≠0).
③{an}为等差数列⇒ 为等差数列.
④两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn 之间的关系为＝ (bn≠0，T2n－1≠0).
2. 关于an的结论
(1)在等差数列{an}中，从第2项起，每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项，表示为an＋1＝，等价于an＋an＋2＝2an＋1，以及an＋1－an＝an＋2－an＋1.
(2)若an＝pn＋q(p，q为常数)，则{an}一定是公差为p的等差数列.
3. 关于Sn的结论
(1)等差数列前n项和的最值与{an}的单调性有关.
①若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正项(或0)，所以将这些项相加即得Sn的最大值.
②若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负项(或0)，所以将这些项相加即得Sn的最小值.
③若a1>0，d>0，则{Sn}是递增数列，S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则{Sn}是递减数列，S1是{Sn}的最大值.
(2){an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B是常数). 若Sn＝An2＋Bn＋C且C≠0，则{an}从第2项起成等差数列.
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【题型归纳】
题型一：等差中项的应用
1．等差数列​的前项和为​， 则（       ）
A．42 B．56 C．63 D．70
2．在等比数列中，各项都是正数，且，，成等差数列，则等于（       ）
A． B． C． D．
3．已知数列是等差数列，且满足，则（       ）
A． B． C． D．
题型二：利用等差数列的性质计算
4．设等差数列的前n项和为，，公差为d，，．则下列结论不正确的是（       ）
A． B．当时，取得最小值
C． D．使得成立的最大自然是n是17
5．等差数列 ​的前​项和为​， 则​（       ）
A．42 B．56 C．63 D．70
6．已知等差数列的前n项和为，且，则（       ）
A．40 B．45 C．80 D．90
题型三：等差数列片段和的性质及应用
7．在等差数列中，其前项和为，若，则（       ）
A． B． C． D．
8．已知等差数列的前n项和为，若，，则（       ）
A．－10 B．－20 C．－120 D．－110
9．已知数列是等差数列，，则（       ）
A． B． C． D．
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【双基达标】
10．已知数列为等比数列，若，且与的等差中项为，则的最大值为（       ）
A．5 B．512 C．1024 D．2048
11．已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，，则的值是（       ）
A． B． C． D．
12．已知等差数列的第5