人教版微专题 函数的单调性 学案——2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练.docx

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微专题：函数的单调性
【考点梳理】
1. 函数的单调性
(1)增函数与减函数
增函数
减函数
定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1，x2∈D，
当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增. 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数
当x1<x2时，都有f(x1)> f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数
图象描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)函数的单调性与单调区间：如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
2. 判断函数单调性的主要方法(结论)
(1)定义法
教材****题中给出了其常见的两种等价形式：
设x1，x2∈(a，b)，且x1≠x2，记Δx＝x1－x2，Δy＝f(x1)－f(x2)，那么
①＞0⇔f(x)在(a，b)内是增函数；
＜0⇔f(x)在(a，b)内是减函数.
上式的几何意义：增(减)函数图象上任意两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率恒大于(或小于)零.
②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0⇔f(x)在(a，b)内是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0⇔f(x)在(a，b)内是减函数.
(2)性质法
①当常数c>0时，y＝c·f(x)与y＝f(x)的单调性相同；当常数c<0时，y＝c·f(x)与y＝f(x)的单调性相反，特别地，函数y＝－f(x)与y＝f(x)的单调性相反.
②当y＝f(x)恒为正或恒为负时，y＝与y＝f(x)的单调性相反.
③若c为常数，则函数y＝f(x)与函数y＝f(x)＋c的单调性相同.
④若f(x)与g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍是增(减)函数.
⑤若f(x)>0且g(x)>0，f(x)与g(x)都是增(减)函数，则f(x)·g(x)也是增(减函数)；若f(x)<0且g(x)<0，f(x)与g(x)都是增(减)函数，则f(x)·g(x)是减(增)函数.
⑥奇(偶)函数在其对称区间上的单调性相同(相反).
(3)同增异减法
复合函数的单调性：如果y＝f(u)和u＝g(x)的单调性相同，那么y＝f(g(x))是增函数；如果y＝f(u)和u＝g(x)的单调性相反，那么
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y＝f(g(x))是减函数. 在应用这一结论时，必须注意：函数u＝g(x)的值域必须是y＝f(u)的单调区间的子集.
(4)导数法
对于函数y＝f(x)，如果在某个区间上f′(x)＞0，那么f(x)在该区间上单调递增；如果在某个区间上f′(x)＜0，那么f(x)在该区间上单调递减.
(5)图象法.
【题型归纳】
题型一：求函数的单调区间
1．函数的单调增区间是（　　）
A． B．
C． D．
2．若函数f（x）＝6lnx－x2＋x，则f（x）的单调递减区间为（       ）
A． B．
C． D．
3．已知函数若，则的单调递增区间为（       ）
A． B．
C． D．
题型二：根据函数的单调性求参数值
4．“”是“函数在区间上单调递减”的（       ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．函数（且）在上是增函数，则的取值范围是（       ）
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A． B． C． D．
6．设，且，则“函数在上是增函数”是“函数在上是减函数”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
题型三：根据图像判断函数单调性
7．定义在区间上的函数的图象如图所示，则的单调递减区间为（       ）
A． B． C． D．
8．已知函数（）的图象如图所示，则它的单调递减区间是（     ）
A． B． C． D．
9．根据下列函数图象，既是奇函数又是增函数的是（       ）
A． B．
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