人教版易错点08 立体几何（解析版）.docx

易错点08 立体几何
易错点1：平行和垂直的判定
在立体几何中，点、线、面之间的位置关系，特别是线面、面面的平行和垂直关系，是高中立体几何的理论基础，是高考命题的热点与重点之一，一般考查形式为小题(位置关系基本定理判定)或解答题(平行、垂直位置关系的证明)，难度不大。
立体几何中平行与垂直的易错点
易错点1：线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为＂一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行＂而导致证明过程跨步太大。
易错点2：有关线面平行的证明问题中，对定理的理解不够准确，往往忽视
三个条件中的某一个。
易错点3：线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈；面面平行的判定定理易把条件错误地记为＂一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行＂而导致证明过程跨步太大；
易错点2：异面直线所成的角
1.求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解，整个求解过程可概括为：一找二证三求。 
2.求异面直线所成角的步骤： 
①选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置斩点。 
②求相交直线所成的角，通常是在相应的三角形中进行计算。 ③因为异面直线所成的角q的范围是0°＜θq≤90°，所以在三角形中求的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角。 
3.“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。 
4.利用向量，设而不找，对于规则几何体中求异面直线所成的角也是常用的方法之一。
易错点3：直线与平面所成的角
1.传统几何方法：
①转化为求斜线与它在平面内的射影所成的角，通过直角三角形求解。
②利用三面角定理（即最小角定理）求。
2.向量方法：设为平面的法向量，直线与平面所成的角为，则
易错点4：二面角
用向量求二面角大小的基本步骤
1.建立坐标系，写出点与所需向量的坐标；
2.求出平面的法向量，平面的法向量
3.进行向量运算求出法向量的夹角；
4.通过图形特征或已知要求，确定二面角是锐角或钝角，得出问题的结果：
1．已知是两条不同的直线，是平面，且，则（       ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【详解】依题意，
A选项，若，则可能，所以A选项错误.
B选项，若，则与可能相交、异面、平行，所以B选项错误.
C选项，若，则可能，所以C选项错误.
D选项，由于，所以平面内存在直线，满足，
若，则，则，所以D选项正确.
故选：D
2．已知直三棱柱各棱长均相等，点D，E分别是棱，的中点，则异面直线AD与BE所成角的余弦值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设直三棱柱的棱长为1，则，
点D，E分别是棱，的中点，
，，
，
所以．
所以异面直线AD与BE所成角的余弦值为．
故选：A．
3．如图，正方体中，是的中点，则下列说法正确的是（       ）
A．直线与直线垂直，直线平面
B．直线与直线平行，直线平面
C．直线与直线异面，直线平面
D．直线与直线相交，直线平面
【答案】A
【详解】连接；由正方体的性质可知，是的中点，所以直线与直线垂直；
由正方体的性质可知，所以平面平面，
又平面，所以直线平面，故A正确；

以为原点，建立如图坐标系，设正方体棱长为1，
显然直线与直线不平行，故B不正确；
直线与直线异面正确，，，所以直线与平面不垂直，故C不正确；
直线与直线异面，不相交，故D不正确；
故选：A.
4．平行六面体中，，则与底面所成的线面角的正弦值是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图所示，连接，相交于点，连接．
平行六面体中，且，
不妨令
，，都是等边三角形．
是等边三角形．
，，，平面
平面，平面，
平面平面，
是与底面所成角．
因为，，所以．
如图建立空间直角坐标系，则，，，，
其中的坐标计算如下，过 作交于点，
因为，，所以，
所以，，
因为
所以，所以，
显然平面的法向量为，
设与底面所成的角为，则
故选：A
5．已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列结论一定成立的是（       ）
A．若m⊥n，m⊥α，则n∥