人教版易错点17 极坐标和参数方程（解析版）.docx

易错点17 极坐标和参数方程
易错点1.极坐标
1．极坐标与直角坐标的互化：
①互化条件：（1）极点与原点重合；（2）极轴与轴正方向重合；（3）取相同的单位长度。
②互化公式：设是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是，极坐标是，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：
点
直角坐标
极坐标
互化公式
说明：若把直角坐标化为极坐标，求极角时，应注意判断点所在的象限（即角的终边的位置），以便正确地求出角； 利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题。
易错点2.参数方程
1.常见的参数方程:
(1)直线的参数方程：
若直线过，α为直线的倾斜角，则直线的参数方程为(t为参数)，其中参数t的几何意义是直线上定点P0到动点P的有向线段P0P的数量，若动点P在定点P0的上方，则t>0；若动点P在定点P0的下方，则t<0；若动点P与定点P0重合，则t＝0.定点P0到动点P的距离是|P0P|＝|t|.
（2）圆的参数方程：
①圆的参数方程（为参数）
②圆的参数方程为：（为参数）
（3）椭圆的参数方程 （为参数）
（4）抛物线的参数方程（为参数）
2.关于参数几点说明：
（1）参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义。
（2）同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样
（3）在实际问题中要确定参数的取值范围。
（4）利用直线参数方程中参数的几何意义解题中经常用到结论：
经过点，倾斜角为的直线的参数方程为 (为参数)．若A，B为直线上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：
①；②；③；④.
注意：直线的参数方程中，参数的系数的平方和为1时，才有几何意义，其几何意义为：|t|是直线上任一点到的距离，即.
1．已知圆：（为参数），与圆关于直线对称的圆的普通方程是（    ）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】圆：（为参数）转化为普通方程为，
圆心为，半径为，设圆关于直线对称的圆的圆心为，半径为，
所以点与点关于对称，所以，解得，
所以对称的圆的圆心为，半径为，
故对称的圆的普通方程是.
故选：A.
2．已知直线：(t为参数)与圆：交于、两点，当最小时，的取值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：圆：化为直角坐标方程为：．
把直线：，化为普通方程为：，
由于直线过定点在圆的内部，
因此当时，取得最小值．
，
，
解得．
故选：D．
3．已知实数x，y满足，则的最大值是（    ）
A． B． C．6 D．3
【答案】A
【详解】因为实数x，y满足，
所以可设，
所以，
所以的最大值是，当取得等号
故选:A
4．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（为参数），以坐标原点
为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C极坐标方程为：.
(1)求直线l普通方程与曲线C的直角坐标方程；
(2)过点的直线l与C相交于A，B两点，求的值.
【详解】（1）对，可得，代入可得：，
故直线的普通方程为：；
对两边同时乘以可得：，即，
故曲线的直角坐标方程为：.
（2）将l的参数方程代入，并化简得，，
设A，B对应参数为，，又，所以.
5．在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程；
(2)设射线和射线分别与曲线交于两点，求面积的最大值.
【详解】（1）易知曲线的普通方程：，
因为，，
所以曲线的极坐标方程为：，即.
（2）由题意及（1）知，
，
∴，
因为，则，
所以当，即时，的面积最大，最大值是.
1．参数方程（其中）表示的曲线为（    ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】D
【详解】由参数方程可得曲线普通方程为：，曲线为抛物线.
故选：D.
2．已知双曲线的参数方程为（为参数），则此双曲线的焦距等于（    ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】D
【详解】由可得，，所以，即，所以双曲线的焦距为．
故选：D．
3．已知椭圆为参数，，的焦点分别、，点为椭圆的上顶点，直线与椭圆的另一个交点为．若，则椭圆的普通方程为 __．
【答案】
【详解】解：根据题意，椭圆为参数，，，其普通方程为，
若其焦点分别、，则，则有，①
点为椭圆的上顶点，则的坐标为，
又由，而，则，，
又由，且、、三点共线，则的坐标为，
又由，则有，②
联立①②