人教版易错点18 抛物线答案-备战2023年高考数学易错题.docx

易错点18 抛物线
易错点1：主观认为抛物线的顶点就是原点;
易错点2：忽视抛物线的变化趋势,只从图形的局部,乱下结论;
易错点3：在使用抛物线的焦半径公式时,错把纵坐标写成横坐标;
易错点4：解决直线与抛物线综合题时,忽略对直线斜率不存在情况的讨论;
易错点5：在解有关直线与抛物线的位置关系的问题
必记结论
直线AB过抛物线的焦点，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图：
（1）y1y2＝－p2，x1x2＝.
（2）|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为2p.
（3）＋为定值.
（4）弦长AB＝(α为AB的倾斜角)．
（5）以AB为直径的圆与准线相切。
（6）以AF为直径的圆与y轴相切．
（7）焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°.
题组一：定义和标准方程
1.（2021新高考2卷）抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ）
A.1 B.2 C. D.4
【答案】B
【解析】抛物线的焦点坐标为，其到直线的距离：，解得：(舍去).故选：B.
2.(2019年高考全国Ⅱ卷理数)若抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，则p=(　）
A．2 B．3 C．4 D．8
【解析】由题意可得：，解得．故选D．
3．（2021北京）已知抛物线，的焦点为，点在曲线上，且，则的横坐标是________；作轴于，=________．
【答案】；
【解析】根据抛物线定义，抛物线准线为，到准线距离等于到焦点距离6，横坐标为，根据抛物线方程到轴距离为，三角形底为，所以面积为．
4．（2021新高考1卷）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且．若，则的准线方程为 .
【答案】
【解析】由已知可设，所以，，因此直线的方程为：
，令得，因此．
所以的准线方程为．
题组二：抛物线的简单几何性质及其应用
5．【2020全国Ⅰ卷】已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为，到轴的距离为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得，故选C．
6．（2020北京卷）设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（ ）
A．经过点 B．经过点
C．平行于直线 D．垂直于直线
【答案】B
【解析】如图所示，因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点．
7.(2018全国1卷)设抛物线：的焦点为，过点且斜率为的直线与交于，两点，则=( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解析】通解 过点且斜率为的直线的方程为，
由，得，解得或，所以，或，不妨设，，易知，所以，，所以．故选D．
8.（2017新课标Ⅱ）已知F是抛物线：的焦点，M是上一点，FM的延长线交轴于点N．若M为FN的中点，则 ．
【答案】6
【解析】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作与点，与点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，
故．
题组三：焦点弦问题
9.（2018全国2卷）设抛物线C:y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8．则的方程是______________.
【答案】
【解析】由题意得，的方程为．设，
由得．
，故．
所以．
由题设知，解得（舍去），．
因此的方程为．
10.（2019全国1卷）已知抛物线的焦点为，斜率为 的直线与 的交点为，，与轴的交点为,，则的方程是_______________.
【答案】
【解析】由题意得，的方程为．设，
由焦半径公式知
由得．
，故．
所以．
所以的方程是，即.
11．（2018全国3卷）已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点．若∠AMB=900，则k=________．
【答案】2
【解析】法1: 由题意知抛物线的焦点为，则过的焦点且斜率为的直线方程为，由，消去得，
即，设，，
则，．由，消去得，
即，则，，
由，得
，
将，与，代入，得．
法2: 设抛物线的焦点为，，，则，
所以，则，
取的中点，分别过点，做准线的垂线，垂足分别为，，又，点在准线上，
所以．
又为的中点，所以平行于轴，且，所以，所以．
12.（2014全国2卷）设F为抛