人教版专题03 平面向量（解析版）.docx

专题03 平面向量
一、核心先导
二、考点再现
【考点1】平面向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
(1)交换律：
a＋b＝b＋a；
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫作a与b的差
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)当λ>0时，λa与a的方向相同；
当λ<0时，λa与a
(1)结合律：λ(μ a)＝λμ a＝μ(λa)；
(2)第一分配律：
(λ＋μ)a＝λa＋μ a；
的方向相反；
当λ＝0时，λa＝0
(3)第二分配律：
λ(a＋b)＝λa＋λb
【考点2】共线向量定理、平面向量基本定理及应用
1．向量共线的判定定理和性质定理
(1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ使得b＝λa，则向量b与a共线．
(2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.
(3)A，B，C是平面上三点，且A与B不重合，P是平面内任意一点，若点C在直线AB上，则存在实数λ，使得________(如图所示)．
2．向量共线定理的应用
(1)证明点共线；(2)证明两直线平行； (3)已知向量共线求字母的值．
3．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．
【考点3】平面向量坐标运算的应用
1．平面向量的坐标运算
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a±b＝(x1±x2，y1±y2)．
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)．
(3)若a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)．
2．向量平行的坐标表示
(1)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件为x1y2－x2y1＝0.
(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点共线的充要条件为(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)＝0.
a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0.判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定．
【考点4】平面向量的垂直与夹角
1．平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角．
(2)数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫作a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.规定：0·a＝0.
(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的模|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
2．平面向量数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ.
(2)a⊥b⇔a·b＝0.
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.
(4)cos θ＝.
(5)|a·b|≤|a||b|.
3．平面向量数量积的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为θ，则
(1)a·b＝x1x2＋y1y2.
(2)|a|＝.若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝.
(3)cos θ＝.
(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
x1y2－x2y1＝0与x1x2＋y1y2＝0不同，前者是两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的充要条件，后者是它们垂直的充要条件．
【考点5】平面向量的模及其应用
求平面向量的模的公式
(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝＝；
(2)|a±b|＝＝；
(3)若a＝(x，y)，则|a|＝.
三、解法解密
考向1　平面向量在平面几何中的应用
向量在几何中的应用
(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件：a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0.
(2)证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件：
a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(3)求夹角问题，常用公式：
cos θ＝＝.
(4)求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模
|a|＝＝或
|A