人教版专题04 导数及其应用（解答题）（文科专用）（教师版）.docx

专题04 导数及其应用（解答题）（文科专用）
1．【2022年全国甲卷】已知函数f(x)=x3−x,g(x)=x2+a，曲线y=f(x)在点x1,fx1处的切线也是曲线y=g(x)的切线．
(1)若x1=−1，求a；
(2)求a的取值范围．
【答案】(1)3
(2)−1,+∞
【解析】
【分析】
（1）先由f(x)上的切点求出切线方程，设出g(x)上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出a即可；
（2）设出g(x)上的切点坐标，分别由f(x)和g(x)及切点表示出切线方程，由切线重合表示出a，构造函数，求导求出函数值域，即可求得a的取值范围.
(1)
由题意知，f(−1)=−1−(−1)=0，f'(x)=3x2−1，f'(−1)=3−1=2，则y=f(x)在点−1,0处的切线方程为y=2(x+1)，
即y=2x+2，设该切线与g(x)切于点x2,g(x2)，g'(x)=2x，则g'(x2)=2x2=2，解得x2=1，则g(1)=1+a=2+2，解得a=3；
(2)
f'(x)=3x2−1，则y=f(x)在点x1,f(x1)处的切线方程为y−x13−x1=3x12−1(x−x1)，整理得y=3x12−1x−2x13，
设该切线与g(x)切于点x2,g(x2)，g'(x)=2x，则g'(x2)=2x2，则切线方程为y−x22+a=2x2(x−x2)，整理得y=2x2x−x22+a，
则3x12−1=2x2−2x13=−x22+a，整理得a=x22−2x13=3x122−122−2x13=94x14−2x13−32x12+14，
令ℎ(x)=94x4−2x3−32x2+14，则ℎ'(x)=9x3−6x2−3x=3x(3x+1)(x−1)，令ℎ'(x)>0，解得−13<x<0或x>1，
令ℎ'(x)<0，解得x<−13或0<x<1，则x变化时，ℎ'(x),ℎ(x)的变化情况如下表：
x
−∞,−13
−13
−13,0
0
0,1
1
1,+∞
ℎ'(x)
−
0
+
0
−
0
+
ℎ(x)
↘
527
↗
14
↘
−1
↗
则ℎ(x)的值域为−1,+∞，故a的取值范围为−1,+∞.
2．【2022年全国乙卷】已知函数f(x)=ax−1x−(a+1)lnx．
(1)当a=0时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围．
【答案】(1)−1
(2)(0,+∞)
【解析】
【分析】
（1）由导数确定函数的单调性，即可得解；
（2）求导得f'(x)=(ax−1)(x−1)x2，按照a≤0、0<a<1及a>1结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解.
(1)
当a=0时，f(x)=−1x−lnx,x>0，则f'(x)=1x2−1x=1−xx2，
当x∈(0,1)时，f'(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(1,+∞)时，f'(x)<0，f(x)单调递减；
所以f(x)max=f(1)=−1；
(2)
f(x)=ax−1x−(a+1)lnx,x>0，则f'(x)=a+1x2−a+1x=(ax−1)(x−1)x2，
当a≤0时，ax−1≤0，所以当x∈(0,1)时，f'(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(1,+∞)时，f'(x)<0，f(x)单调递减；
所以f(x)max=f(1)=a−1<0，此时函数无零点，不合题意；
当0<a<1时，1a>1，在(0,1),(1a,+∞)上，f'(x)>0，f(x)单调递增；
在(1,1a)上，f'(x)<0，f(x)单调递减；
又f(1)=a−1<0，当x趋近正无穷大时，f(x)趋近于正无穷大，
所以f(x)仅在(1a,+∞)有唯一零点，符合题意；
当a=1时，f'(x)=(x−1)2x2≥0，所以f(x)单调递增，又f(1)=a−1=0，
所以f(x)有唯一零点，符合题意；
当a>1时，1a<1，在(0,1a),(1,+∞)上，f'(x)>0，f(x)单调递增；
在(1a,1)上，f'(x)<0，f(x)单调递减；此时f(1)=a−1>0，
又f(1an)=1an−1−an+n(a+1)lna，当n趋近正无穷大时，f(1an)趋近负无穷，
所以f(x)在(0,1a)有一个零点，在(1a,+∞)无零点，
所以f(x)有唯一零点，符合题意；
综上，a的取值范围为(0,+∞).
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题.
3．【2021年甲卷文科】设函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）若的图象与轴没有