人教版专题07 平面解析几何（选填题）（教师版）.docx

专题07 平面解析几何（选填题）
1．【2022年全国甲卷】已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为13，A1,A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若BA1→⋅BA2→=−1，则C的方程为（       ）
A．x218+y216=1 B．x29+y28=1 C．x23+y22=1 D．x22+y2=1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据离心率及BA1⋅BA2=−1，解得关于a2,b2的等量关系式，即可得解.
【详解】
解：因为离心率e=ca=1−b2a2=13，解得b2a2=89，b2=89a2，
A1,A2分别为C的左右顶点，则A1(−a,0),A2(a,0)，
B为上顶点，所以B(0,b).
所以BA1=(−a,−b),BA2=(a,−b)，因为BA1⋅BA2=−1
所以−a2+b2=−1，将b2=89a2代入，解得a2=9,b2=8，
故椭圆的方程为x29+y28=1.
故选：B.
2．【2022年全国甲卷】椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP,AQ的斜率之积为14，则C的离心率为（       ）
A．32 B．22 C．12 D．13
【答案】A
【解析】
【分析】
设Px1,y1，则Q−x1,y1，根据斜率公式结合题意可得y12−x12+a2=14，再根据x12a2+y12b2=1，将y1用x1表示，整理，再结合离心率公式即可得解.
【详解】
解：A−a,0，
设Px1,y1，则Q−x1,y1，
则kAP=y1x1+a,kAQ=y1−x1+a，
故kAP⋅kAQ=y1x1+a⋅y1−x1+a=y12−x12+a2=14，
又x12a2+y12b2=1，则y12=b2a2−x12a2，
所以b2a2−x12a2−x12+a2=14，即b2a2=14，
所以椭圆C的离心率e=ca=1−b2a2=32.
故选：A.
3．【2022年全国乙卷】设F为抛物线C:y2=4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若AF=BF，则AB=（       ）
A．2 B．22 C．3 D．32
【答案】B
【解析】
【分析】
根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A的横坐标，进而求得点A坐标，即可得到答案.
【详解】
由题意得，F1,0，则AF=BF=2，
即点A到准线x=−1的距离为2，所以点A的横坐标为−1+2=1，
不妨设点A在x轴上方，代入得，A1,2，
所以AB=3−12+0−22=22.
故选：B
4．【2022年全国乙卷】双曲线C的两个焦点为F1,F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C的两支交于M，N两点，且cos∠F1NF2=35，则C的离心率为（       ）
A．52 B．32 C．132 D．172
【答案】C
【解析】
【分析】
依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过F1作圆D的切线切点为G，可判断N在双曲线的右支，设∠F1NF2=α，∠F2F1N=β，即可求出sinα，sinβ，cosβ，在△F2F1N中由sin∠F1F2N=sinα+β求出sin∠F1F2N，再由正弦定理求出NF1，NF2，最后根据双曲线的定义得到2b=3a，即可得解；
【详解】
解：依题意不妨设双曲线焦点在x轴，设过F1作圆D的切线切点为G，
所以OG⊥NF1，因为cos∠F1NF2=35>0，所以N在双曲线的右支，
所以OG=a，OF1=c，GF1=b，设∠F1NF2=α，∠F2F1N=β，
由cos∠F1NF2=35，即cosα=35，则sinα=45，sinβ=ac，cosβ=bc，
在△F2F1N中，sin∠F1F2N=sinπ−α−β=sinα+β
=sinαcosβ+cosαsinβ=45×bc+35×ac=3a+4b5c，
由正弦定理得2csinα=NF2sinβ=NF1sin∠F1F2N=5c2，
所以NF1=5c2sin∠F1F2N=5c2×3a+4b5c=3a+4b2，NF2=5c2sinβ=5c2×ac=5a2
又NF1−NF2=3a+4b2−5a2=4b−2a2=2a，
所以2b=3a，即ba=32，
所以双曲线的离心率e=ca=1+b2a2=132
故选：C
5．【2021年甲卷文科】点到双曲线的一条渐近线的距离为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.
【详解】
由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即，
结合对称性，不妨