人教版专题14 不等式（教师版）.docx

专题14 不等式
1．【2022年全国乙卷】若x，y满足约束条件x+y⩾2,x+2y⩽4,y⩾0,则z=2x−y的最大值是（       ）
A．−2 B．4 C．8 D．12
【答案】C
【解析】
【分析】
作出可行域，数形结合即可得解.
【详解】
由题意作出可行域，如图阴影部分所示，
转化目标函数z=2x−y为y=2x−z，
上下平移直线y=2x−z，可得当直线过点(4,0)时，直线截距最小，z最大，
所以zmax=2×4−0=8.
故选：C.
2．【2021年乙卷文科】若满足约束条件则的最小值为（       ）
A．18 B．10 C．6 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意作出可行域，变换目标函数为，数形结合即可得解.
【详解】
由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，
由可得点,
转换目标函数为，
上下平移直线，数形结合可得当直线过点时,取最小值，
此时.
故选：C.
3．【2021年乙卷文科】下列函数中最小值为4的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．
【详解】
对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．
4．【2020年新课标3卷文科】已知函数f(x)=sinx+，则（）
A．f(x)的最小值为2 B．f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的图象关于直线对称 D．f(x)的图象关于直线对称
【答案】D
【解析】
【分析】
根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D.
【详解】
可以为负，所以A错；
关于原点对称；
故B错；
关于直线对称，故C错，D对
故选：D
【点睛】
本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性，考查基本分析判断能力，属中档题.
5．【2019年新课标2卷理科】若a>b，则
A．ln(a−b)>0 B．3a<3b
C．a3−b3>0 D．│a│>│b│
【答案】C
【解析】
【分析】
本题也可用直接法，因为，所以，当时，，知A错，因为是增函数，所以，故B错；因为幂函数是增函数，，所以，知C正确；取，满足，，知D错．
【详解】
取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．
【点睛】
本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．
6．【2022年新高考2卷】若x，y满足x2+y2−xy=1，则（       ）
A．x+y≤1 B．x+y≥−2
C．x2+y2≤2 D．x2+y2≥1
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．
【详解】
因为ab≤a+b22≤a2+b22（a,b∈R），由x2+y2−xy=1可变形为，x+y2−1=3xy≤3x+y22，解得−2≤x+y≤2，当且仅当x=y=−1时，x+y=−2，当且仅当x=y=1时，x+y=2，所以A错误，B正确；
由x2+y2−xy=1可变形为x2+y2−1=xy≤x2+y22，解得x2+y2≤2，当且仅当x=y=±1时取等号，所以C正确；
因为x2+y2−xy=1变形可得x−y22+34y2=1，设x−y2=cosθ,32y=sinθ，所以x=cosθ+13sinθ,y=23sinθ，因此x2+y2=cos2θ+53sin2θ+23sinθcosθ=1+13sin2θ−13cos2θ+13
=43+23sin2θ−π6∈23,2，所以当x=33,y=−33时满足等式，但是x2+y2≥1不成立，所以D错误．
故选：BC．
7．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知a>0，b>0，且a+b=1，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.
【详解】
对于A，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，，