人教第03讲 解三角形（练）（解析版）.docx

第03讲 解三角形

一、单选题
1．设△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】运用正弦定理与余弦定理代换即可.
【详解】因为，由正弦定理有，
根据余弦定理有，
且，故有，即，
又，所以.故选：D .
2．在中，已知边上的两条中线相交于点，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题可得三角形为直角三角，建立坐标系，将问题转化为求与夹角的余弦即可.
【详解】解：因为
所以，
所以,
又因为,
所以三角形为直角三角，
建立如图所示的坐标系，
则有：,因为分别为中点，
所以,所以,,所以==.
故选：B.
3．已知的内角所对的边分别为，若，则（       ）
A． B． C．6 D．
【答案】A
【分析】利用正弦定理整理代入运算即可．
【详解】由正弦定理，整理得
故选：A．
4．在中，，，，则（       ）
A． B．5 C． D．6
【答案】B
【分析】利用角的余弦定理即可得到答案
【详解】解：在中，由余弦定理得，
代入数据得，因为，解得，
故选：B
5．在中，若，则等于（       ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】B
【分析】根据正弦定理进行求解.
【详解】因为，所以；
因为，所以.
故选：B.
6．在中，内角所对的边分别为.已知，则的最大值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用余弦定理求出，再利用基本不等式求出的范围，最后借助同角三角函数的关系求出的范围，从而求出的最大值.
【详解】由，
整理得，
则，当且仅当时，等号成立.故选：C.
二、填空题
7．在中，已知.若为边上的一点，且，，则___________.
【答案】
【详解】由题意可得：，则
设，则
在中，由正弦定理可得，整理可得
在中，由正弦定理可得，整理可得
∴，则，故答案为：．
8．（2022·陕西·渭南市华州区咸林中学高三开学考试（文））在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D在边BC上，且AD平分，，，，则的面积为__________.
【答案】
【详解】由及正弦定理，得
，即，
由余弦定理得，又，所以，
因为AD平分，所以，
又因为，
即，化简得；
由及正弦定理，得.与联立，
解得.所以.故答案为：
三、解答题
9．（安徽省皖南八校2022-2023学年高三上学期开学考试数学试题）已知的内角所对的边分别是，满足.
(1)求角；
(2)若，且外接圆的直径为，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，把条件进行化简整理，利用辅助角公式，化为单角表示，由角的取值范围，求角；
（2）结合正余弦定理，整理化简得的值，根据（1）代入面积公式计算得答案.
（1）
由正弦定理得，
因为，所以，即，
因为，所以，
所以，解得；
（2）
设的外接圆半径为，则，
根据正弦定理，得，所以，
由余弦定理得，即，
所以，所以的面积为.
10．（2022·湖南师大附中高二开学考试）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且.
(1)求的值；
(2)若∠ACB的平分线交AB于点D，，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据两角和的正弦公式化简，结合正弦定理求解即可；
（2）根据三角形的面积公式，结合可得，根据向量的线性运算可得，再两边平方结合数量积的运算求解可得，再在中，由余弦定理与正弦定理求解即可.
（1）在中，角的对边分别为，满足
，
得：，因为，
所以，由正弦定理得：.
（2）由（1）得，因为的平分线交于点，且，记为到的距离，因为，即，
所以，即.
，所以，
两边平方，代入，得：，
，在中，
在中，由余弦定理得，，
在中，由正弦定理得，.
一、单选题
1．在中，角所对的边分别是是边上一点，且，则的最小值是（       ）
A．4 B．6 C．8 D．9
【答案】C
【分析】利用正弦定理及，表达出，再利用基本不等式求出最值.
【详解】如图所示，
因为，所以，
在Rt△ABD中，，即，
因为，
由正弦定理可得：，即，
所以，
所以
，
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为8.故选：C
2．中，的对边分别为，则（       ）
A．若，则
B．使得
C．都有
D．若，则是钝角
【答案】D
【分析】特殊值法判断A