人教第04讲 数列求和（练）（解析版）.docx

第04讲 数列求和
一、单选题
1．在数列中，，，则数列的前项和（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由等差数列求和公式可整理得到，进而可得，采用裂项相消法可求得.
【详解】，
，
.故选：A.
2．已知函数为奇函数，且，若，则数列的前2022项和为（       ）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
【答案】B
【分析】由为奇函数，可得，再由，得，然后利用倒序相加法可求得结果.
【详解】由于函数为奇函数，则，
即，所以，
所以，
所以
因此数列的前2022项和为．故选：B.
3．如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图2是根据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于x轴，相邻两根弦间的距离为1，雁柱所在曲线的方程为，第n根弦（，从左数第1根弦在y轴上，称为第0根弦）分别与雁柱曲线和直线交于点（，）和（，），则(        )        
参考数据：取.
A．814 B．900 C．914 D．1000
【答案】C
【分析】求出 ，用错位相减法求和即可.
【详解】由条件可得①，
所以②，
－②得：
，
，
所以.故选：C.
4．已知数列满足，数列的前项和为，则下列结论错误的是（       ）
A．的值为2
B．数列的通项公式为
C．数列为递减数列
D．
【答案】B
【分析】利用与的关系可求数列的通项公式，利用可判断单调性，利用错位相减法求.
【详解】当时，，∴，故A正确；
当时，，
∴，
∴，∵上式对也成立，∴（），故B错误；
∵，
∴数列为递减数列，故C正确；
∵，
∴，
两式相减得，，
∴，故D正确．故选：B．
5．已知数列满足，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由利用裂项相消求和可得答案.
【详解】因为，所以，所以
．
故选：D.
6．已知数列满足，，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由再利用裂项相消求和可得答案.
【详解】因为，所以，即，
则
.
所以
当时，上式成立，故.故选：C.
7．已知数列是递增的等差数列，是与的等比中项，且.若，则数列的前项和（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】因为是递增的等差数列，所以先假设，接着利用题意得到的方程组，解出的值，就可以得到的通项公式，然后代入，进而求出的前项和
【详解】因为数列是递增的等差数列，所以数列的公差.
由题意得即
解得或（舍去）.所以.
所以.所以
故选：A.
二、填空题
8．已知数列的通项公式为数列的前n项和，则___________．
【答案】
【分析】根据裂项求和即可求解.
【详解】由题知：，所以，
故答案为：
9．数列的前项和___________.
【答案】
【分析】利用分组求和法，结合等差数列、等比数列前n项和公式求解作答.
【详解】依题意，.
故答案为：
10．数列满足，前16项和为540，则__．
【答案】-2
【分析】分为奇数与偶数两种情况，分别求得前16项中奇数项和偶数项的和，再根据偶数项与的关系求解即可
【详解】因为数列满足，
当为奇数时，，
所以，，，，
则，
当为偶数时，，
所以，，，，，，，
故，，，，，，，
因为前16项和为540，
所以，
所以，解得．故答案为：．
三、解答题
11．已知数列满足，设.
(1)证明：是等比数列；
(2)求.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先求出，对两边同时加1，化简可得结论，
（2）由（1）可得，然后利用分组求和可求得结果.
（1）证明：当时，，则
从而由，得，又，
所以是以2为首项，2为公比的等比数列.
（2）由（1）得，
所以
12．已知单调递减的正项数列，时满足． 为前n项和．
(1)求的通项公式；
(2)证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）通过分组分解法化简已知条件，然后构造等差数列，求得的通项公式，进而求得的通项公式.
（2）结合分析法、裂项求和法证得不等式成立.
（1）由，
得，
即，
由是单调递减的正项数列，得，
则，即，
故是以为首项，1为公差的等差数列，
则，即.
（2）要证：，
只需证：，
即证：，
即证：，
即证：，
即证：，
即证：，
而此不等式显然成立，
所以成立.
13．已知数列的前项和为