人教第7章 不等式、推理与证明 第3节　基本不等式及其应用.docx

第3节　基本不等式及其应用
考试要求　1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
1.基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.
(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数.
2.两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
3.利用基本不等式求最值
已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小).
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大).
1.＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.
2.ab≤≤.
3.≤≤≤(a>0，b>0).
4.应用基本不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就会出错.
5.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的.(　　)
(2)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)
(3)函数f(x)＝sin x＋的最小值为－5.(　　)
(4)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件.(　　)
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
解析　(1)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；
不等式≥成立的条件是a≥0，b≥0.
(2)函数y＝x＋的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值.
(4)x>0且y>0是＋≥2的充分不必要条件.
2.(易错题)已知x＞2，则x＋的最小值是(　　)
A.1 B.2 C.2 D.4
答案　D
解析　∵x＞2，∴x－2＞0，
∴x＋＝x－2＋＋2
≥2＋2＝4，
当且仅当x－2＝，即x＝3时，等号成立.
3.若x<0，则x＋(　　)
A.有最小值，且最小值为2
B.有最大值，且最大值为2
C.有最小值，且最小值为－2
D.有最大值，且最大值为－2
答案　D
解析　因为x<0，所以－x>0，x＋＝－≤－2＝
－2，当且仅当x＝－1时，等号成立，
所以x＋≤－2.
4.若x>0，y>0，且x＋y＝18，则的最大值为(　　)
A.9 B.18 C.36 D.81
答案　A
解析　因为x＋y＝18，所以≤＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立.
5.一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大.
答案　15　
解析　设矩形的长为x m，宽为y m.则x＋2y＝30，所以S＝xy＝x·(2y)≤＝，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝时取等号.
6.已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________.
答案　
解析　由题设知a－3b＝－6，又2a>0，8b>0，所以2a＋≥2＝2·2＝，当且仅当2a＝，即a＝－3，b＝1时取等号.故2a＋的最小值为.
考点一　利用基本不等式求最值
角度1　配凑法求最值
例1 (1)已知0＜x＜1，则x(3－2x)的最大值为________.
(2)已知x＞，则f(x)＝4x－2＋的最小值为________.
(3)(2021·沈阳模拟)若0＜x＜，则y＝x的最大值为________.
答案　(1)　(2)5　(3)
解析　(1)x(3－2x)＝·2x(3－2x)
≤·＝，
当且仅当2x＝3－2x，即x＝时取等号.
(2)∵x＞，∴4x－5＞0，
∴f(x)＝4x－2＋＝4x－5＋＋3≥2＋3＝5.
当且仅当4x－5＝，即x＝时取等号.
(3)∵0＜x＜，
∴y＝x＝
＝
≤·＝，
当且仅当4x2＝1－4x2，即x＝时取等号，
则y＝x的最大值为.
角度2　常数代换法求最值
例2 (2022·江西九校联考)若正实数a，b满足a＋b＝1，则＋的最小值为________.
答案　5
解析　因为a＋b＝1，所以＋＝＋＝＋＋3，
因为a＞0，b＞0，所以＋＋3≥2＋3＝5，当且仅当＝，
即a＝，b＝时等号成立，
即＋的最小值为5.
角度3　消元法求最值
例3 已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________.
答案　6
解析　法一(换元消元法)
由已知得x＋3y＝9