人教第10章 算法初步、统计与统计案例 第3节　用样本估计总体.docx

第3节　用样本估计总体
考试要求　1.了解分布的意义和作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图，体会它们各自的特点；2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差；3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释；4.会用样本的频率分布估计总体的频率分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想；5.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.
1.频率分布直方图
(1)频率分布表的画法：
第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝；
第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；
第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表.
(2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图(如图)
横轴表示样本数据，纵轴表示，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频率.
2.茎叶图
统计中一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数.
3.样本的数字特征
(1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数.
(2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.
(3)平均数：把称为a1，a2，…，an这n个数的平均数.
(4)标准差与方差：设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为，则这组数据的标准差和方差分别是
s＝，
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2].
1.频率分布直方图与众数、中位数、平均数的关系
(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数.
(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的.
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.
2.平均数、方差的公式推广
(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a.
(2)数据x1，x2，…，xn的方差为s2.
①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2；
②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势.(　　)
(2)一组数据的方差越大，说明这组数据越集中.(　　)
(3)频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越大.(　　)
(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次.(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
解析　(2)错误.方差越大，这组数据越离散.
(4)错误.在茎叶图中，相同的数据叶要重复记录，故(4)错误.
2.(2021·天津卷)从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[66，70)，[70，74)，…，[94，98]，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[82，86)内的影视作品数量是(　　)
A.20 B.40 C.64 D.80
答案　D
解析　由频率分布直方图可知，评分在区间[82，86)内的影视作品数量为400×0.05×4＝80.
3.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分茎叶图如图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是(　　)
A.91.5和91.5 B.91.5和92
C.91和91.5 D.92和92
答案　A
解析　这组数据由小到大排列为87，89，90，91，92，93，94，96，
∴中位数是＝91.5，
平均数＝
＝91.5.
4.(易错题)已知一组数据的频率分布直方图如图，则众数是________，平均数是________.
答案　65　67
解析　因为最高小长方形中点的横坐标为65，
所以众数为65；
平均数＝(55×0.030＋65×0.040＋75×0.015＋85×0.010＋95×0.005)×10＝67.
5.(2021·新高考全国Ⅱ卷改编)下列统计量中，能度量样本x1，x2，…，xn的离散程度的所有正确编号有________.
①样本x1，x2，…，xn的标准差
②样本x1，x2，…，xn的中位数
③样本x1，x2，…，xn的极差
④样本x1，x2，…，xn的平均数
答案　①③
解析　由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的