人教第11章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第4节　随机事件的概率.docx

第4节　随机事件的概率
考试要求　1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别；2.了解两个互斥事件的概率加法公式.
1.概率与频率
(1)频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率.
(2)概率：对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A).
2.事件的关系与运算
定义
符号表示
包含关系
如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
B⊇A(或A⊆B)
相等关系
若B⊇A且A⊇B
A＝B
并事件
(和事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B(或A＋B)
交事件
(积事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥
A∩B＝
对立事件
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件
A∩B＝
P(A∪B)＝1
3.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率P(F)＝0.
(4)互斥事件概率的加法公式
①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)＝1－P(B).
1.从集合的角度理解互斥事件和对立事件
(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.
(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.
2.概率加法公式的推广
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时， 要用到概率加法公式的推广，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)事件发生的频率与概率是相同的.(　　)
(2)在大量的重复试验中，概率是频率的稳定值.(　　)
(3)若随机事件A发生的概率为P(A)，则0≤P(A)≤1.(　　)
(4)6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2.下列事件中，不是随机事件的是(　　)
A.长度为3，4，5的三条线段可以构成一个直角三角形
B.经过有信号灯的路口，遇上红灯
C.下周六是晴天
D.一枚硬币抛掷两次，两次都正面向上
答案　A
3.容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：
分组
[10，20)
[20，30)
[30，40)
[40，50)
[50，60)
[60，70]
频数
2
3
4
5
4
2
则样本数据落在区间[10，40)的频率为(　　)
A.0.35 B.0.45 C.0.55 D.0.65
答案　B
解析　由表知[10，40)的频数为2＋3＋4＝9，
所以样本数据落在区间[10，40)的频率为＝0.45.
4.(易错题)某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”(　　)
A.是互斥事件，不是对立事件
B.是对立事件，不是互斥事件
C.既是互斥事件，也是对立事件
D.既不是互斥事件也不是对立事件
答案　C
解析　“至少有一名女生”包括“一男一女”和“两名女生”两种情况，这两种情况再加上“全是男生”构成全集，且不能同时发生，故“至少有一名女生”与“全是男生”既是互斥事件，也是对立事件.
5.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为(　　)
A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7
答案　B
解析　某群体中的成员分为只用现金支付、既用现金支付也用非现金支付、不用现金支付，它们彼此是互斥事件，所以不用现金支付的概率为1－(0.15＋0.45)＝0.4.
6.(2020·天津卷)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为__________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为__________.
答案　　
解析　甲、乙两球都落入